2019年中考数学压轴题专项训练：圆的综合（含解析）

2019年中考数学压轴题专项训练：圆的综合

1．（2019?泉州模拟）如图，矩形ABCD中，AD＝10，CD＝15，E是边CD上一点，且DE＝5，

P是射线AD上一动点，过A，P，E三点的⊙O交直线AB于点F，连结PE，EF，PF．

（1）当AP＝6时，求AF的长；

（2）tan∠PFE的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的变化范围． （3）在点P的整个运动过程中．当矩形ABCD恰好有2个顶点落在⊙O上时，求AP的长．

解：（1）过点F作FG⊥CD于点G，则四边形AFGD是矩形，则DG＝AF，FG＝AD＝10， ∵∠EDP＝∠EGF＝90°， ∵PF是直径， ∴∠PEF＝90°， ∴∠DEP+∠GEF＝90°， ∵∠GEF+∠EFG＝90°， ∴∠DEP＝∠EFG， ∴△DEP∽△GFE， ∴∴

， ，

∴EG＝8，

∴DG＝DE+EG＝5+8， ∴AF＝13．

（2）tan∠PFE的值不变．如图1中，连接AE，

理由：如图1中，∵∴∠PFE＝∠DAE， 在Rt△ADE中，tan∠DAF＝

，

∴tan∠PFE＝tan∠DAF＝．

（3）如图2中，当⊙O经过A、D时，点P与D重合，此时AP＝10，

如图3中，当⊙O经过A、B时， 在Rt△BCE中，BE＝∵tan∠PFE＝，∴PE＝∴PD＝∴PA＝5，

，

，

，

如图4中当⊙O经过AC时，作FM⊥DC交DC的延长线于M．

根据对称性可知，DE＝CM＝BF＝5， 在Rt△EFM中，EF＝∴PE＝EF＝∴PD＝

∴AP＝AD﹣PD＝，

综上所述，AP的值为10或5或时，矩形ABCD恰好有2个顶点落在⊙O上，

2．（2019?罗湖区一模）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于G，射线DO与直线CE相交于点E，直线DB与CE交于点H，且∠BDC＝∠BCH． （1）求证：直线CE是圆O的切线．

（2）如图1，若OG＝BG，BH＝1，直接写出圆O的半径；

（3）如图2，在（2）的条件下，将射线DO绕D点逆时针旋转，得射线DM，DM与AB交于点M，与圆O及切线CF分别相交于点N，F，当GM＝GD时，求切线CF的长．

，

，

，

解：（1）如图1，

∵CD⊥AB，∠4＝2∠2， ∴∠1＝∠2， ∴∠4＝2∠1， ∵∠1＝∠BCH， ∴∠DCH＝2∠1， ∴∠4＝∠DCH， ∵∠3+∠4＝90°，

∴∠3+∠DCH＝90°，即∠OCH＝90°， ∴直线CE是圆O的切线；

（2）∵OG＝BG，且OB⊥CG， ∴OC＝BC， 又∵OC＝OB，

∴△OBC是等边三角形，

∴∠1＝∠2＝∠3＝∠BCH＝30°，∠4＝60°， ∴∠H＝90°， ∵BH＝1，

∴OC＝BC＝2BH＝2，即圆O的半径为2；

（3）如图2，过点F作FE⊥DC．交DC延长线于点E，

∴∠CFE+∠FCE＝90°， ∵OC⊥FC，

∴∠OCG+∠FCE＝90°， ∴∠CFE＝∠OCG， ∴tan∠CFE＝tan∠OCG，即

，

设CE＝x，则EF＝x，

∵GM＝GD，MG⊥CD， ∴∠MDG＝45°， ∵FE⊥ED，

∴∠DFE＝90°﹣∠MDG＝45°＝∠MDG， ∴EF＝ED＝EC+CD， 又∵CD＝2CG＝2×∴

＝2

，

x＝x+2， ，

．

解得x＝3+

∴FC＝2EC＝6+2