高三数学大一轮复习 数列的概念与简单表示法学案 理 新人教A版

a2

＝2， a1

a1＝1.

累乘可得，an＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝n！. 故an＝n！.

?1?(3)∵an＋1＝an＋ln?1＋?，

?n?

n＋1?1?∴an＋1－an＝ln?1＋?＝ln .

?n?

n∴an－an－1＝ln

nn－1n－1

an－1－an－2＝ln ，

n－2

……

，

a2－a1＝ln ，

n－12＋ln ＋…＋ln n－1n－21

＝ln n－ln(n－1)＋ln(n－1)－ln(n－2)＋…＋ln 2－ln 1 ＝ln n.

又a1＝2，∴an＝ln n＋2.

例3 解题导引 an与Sn的关系式an＝Sn－Sn－1的条件是n≥2，求an时切勿漏掉n＝1，即a1＝S1的情况．一般地，当a1＝S1适合an＝Sn－Sn－1时，则需统一“合写”．当a1＝S1不

??S1， n＝1，

适合an＝Sn－Sn－1时，则通项公式应分段表示，即an＝?

?S－S，n≥2.nn－1?

解 当n＝1时，

a1＝S1＝2×12－3×1＋1＝0；

22

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3n＋1)－2(n－1)＋3(n－1)－1＝4n－5； 又n＝1时，an＝4×1－5＝－1≠a1，

??0， n＝1，∴an＝?

?4n－5， n≥2.?

变式迁移3 解 (1)a1＝S1＝3＋b，

nn－1n－1

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3＋b)－(3＋b)＝2·3. 当b＝－1时，a1适合此等式； 当b≠－1时，a1不适合此等式．

n－1

∴当b＝－1时，an＝2·3；

??3＋b (n＝1)

当b≠－1时，an＝?. n－1

?2·3 (n≥2)?

?an＋1?2，

(2)由2Sn＝an＋1，得Sn＝???2?

?a1＋1?2，得a＝1；

当n＝1时，a1＝S1＝??1

?2?

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ?an＋1?2－?an－1＋1?2， ＝?????2??2?

整理，得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， ∵数列{an}各项为正，∴an＋an－1>0. ∴an－an－1－2＝0.

累加可得，an－a1＝ln

21

n

13

∴数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列． ∴an＝a1＋(n－1)×2＝2n－1. 课后练习区

1．A 2.A 3.A 4.D 5.B

?2 (n＝1)?3n2－n＋6

6. 7.? 8. *

72?2n－1 (n≥2，n∈N)?

123

9．解 (1)∵a1＝1＋，a2＝2＋，a3＝3＋，…，

234

∴an＝n＋分)

nn＋1

(n∈N)．…………………………………………………………………(6

*

2－12＋12－1

(2)∵a1＝－，a2＝，a3＝－，

123

2＋1a4＝，…，

4

n2＋(－1)n*

∴an＝(－1)·(n∈N)．………………………………………………………(12

n分)

10．解 (1)由题意得，an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，…，a3－a2＝3，a2－a1＝2. 将上述各式等号两边累加得， an－a1＝n＋(n－1)＋…＋3＋2，

n(n＋1)

即an＝n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1＝，

2

n(n＋1)

故an＝.……………………………………………………………………………(4

2分)

ann－1an－1n－2a32a21＝，＝，…，＝，＝. an－1nan－2n－1a23a12

an11

将上述各式累乘得，＝，故an＝.……………………………………………………(8

a1nn(2)由题意得，分)

(3)由an＝2an－1＋1，

得an＋1＝2(an－1＋1)， 又a1＋1＝2≠0，所以

an＋1

＝2，

an－1＋1

即数列{an＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列．

nn所以an＋1＝2，即an＝2－1.…………………………………………………………(12分) 11．(1)解 a1＝S1＝4.……………………………………………………………………(1分)

对于n≥2有an＝Sn－Sn－1＝2n(n＋1)－2(n－1)n＝4n.a1也适合，

∴{an}的通项公式an＝4n.………………………………………………………………(3分)

将n＝1代入Tn＝2－bn，得b1＝2－b1，故T1＝b1＝1.………………………………(4分) (求bn方法一)对于n≥2，由Tn－1＝2－bn－1， Tn＝2－bn，得bn＝Tn－Tn－1＝－(bn－bn－1)，

11－n∴bn＝bn－1，bn＝2.……………………………………………………………………(6

2分)

(求bn方法二)对于n≥2，由Tn＝2－bn得

14

Tn＝2－(Tn－Tn－1)，

1

2Tn＝2＋Tn－1，Tn－2＝(Tn－1－2)，

2

1－nTn－2＝2(T1－2)＝－21－n， Tn＝2－21－n，

bn＝Tn－Tn－1＝(2－21－n)－(2－22－n)＝21－n. b1＝1也适合．……………………………………………………………………………(6分)

1－n综上，{bn}的通项公式bn＝2.…………………………………………………………(8分)

(2)证明 方法一 由cn＝an·bn＝n2分)

得分)

14

当且仅当n≥3时，1＋≤<2，

n3

cn＋11225－n∴<·(2)＝1，又cn＝n·2>0， cn2

即cn＋1

方法二 由cn＝an·bn＝n2，

4－n22

得cn＋1－cn＝2[(n＋1)－2n]

4－n2

＝2[－(n－1)＋2]．…………………………………………………………………(13分)

当且仅当n≥3时，cn＋1－cn <0，即cn＋1< cn.…………………………………………(14分)

2

25－n2

25－n，………………………………………………(10

cn＋11?1?2

＝?1＋?.………………………………………………………………………(12cn2?n?

15