2．4 函数与方程
2．4.1 方程的根与函数的零点
[学习目标] 1.知道函数零点的定义，会求函数的零点.2.能说出函数零点的存在性定理，会判断函数零点的存在性及存在区间.3.能利用数形结合的方法分析方程根的个数或分布情况.4.会根据一元二次方程根的分布情况求参数范围．
[知识链接]
考察下列一元二次方程与对应的二次函数： (1)方程x－2x－3＝0与函数y＝x－2x－3； (2)方程x－2x＋1＝0与函数y＝x－2x＋1； (3)方程x－2x＋3＝0与函数y＝x－2x＋3.
你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标吗？ 答案
方程 函数 2
2
2
2
2
2
x2－2x－3＝0 y＝x2－2x－3 x2－2x＋1＝0 y＝x2－2x＋1 x2－2x＋3＝0 y＝x2－2x＋3 函数的图象 方程的实数根 函数的图象与x轴的交点
[预习导引] 1．函数零点的定义
x1＝x2＝1 无实数根 x1＝－1，x2＝3 (－1,0)、(3,0) (1,0) 无交点 (1)对于函数f(x)，把方程f(x)＝0的实数根叫作函数y＝f(x)的零点； (2)求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的零点；
(3)函数y＝f(x)的零点，也就是函数y＝f(x)图象与x轴交点的横坐标． 2．函数零点的存在性定理
设f(x)的图象是一条连续不断的曲线，当x从a到b逐渐增加时，如果f(x)连续变化而且
1
f(a)·f(b)＜0，则方程f(x)＝0在(a，b)内至少有一个根，即存在x0∈(a，b)，使f(x0)＝
0.
要点一 求函数的零点
例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝x＋7x＋6； (2)f(x)＝1－log2(x＋3)； (3)f(x)＝2
x－12
－3；
x2＋4x－12
(4)f(x)＝.
x－2
解 (1)解方程f(x)＝x＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6， 所以函数的零点是－1，－6.
(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1， 所以函数的零点是－1. (3)解方程f(x)＝2
x－1
2
－3＝0，得x＝log26，
所以函数的零点是log26.
x2＋4x－12
(4)解方程f(x)＝＝0，得x＝－6，
x－2
所以函数的零点为－6.
规律方法 求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
跟踪演练1 判断下列说法是否正确： (1)函数f(x)＝x－2x的零点为(0,0)，(0,2)； (2)函数f(x)＝x－1(2≤x≤5)的零点为x＝1.
解 (1)函数的零点是使函数值为0的自变量的值，所以函数f(x)＝x－2x的零点为0和2，故(1)错．
(2)虽然f(1)＝0，但1?[2,5]，即1不在函数f(x)＝x－1的定义域内，所以函数在定义域[2,5]内无零点，故(2)错．
要点二 判断函数零点所在区间
例2 在下列区间中，函数f(x)＝e＋4x－3的零点所在的区间为( )
x2
2
?1??1?A.?－，0? B.?0，? ?4??4?
2
?11?C.?，? ?42?
答案 C
?13?D.?，? ?24?
1?1?4
解析 ∵f??＝e－2＜0，f()＝e－1＞0，
2?4?
?1??1??11?∴f??·f??＜0，∴零点在?，?上．
?4??2??42?
规律方法 1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象． 2．要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用 ，若f(x)图象在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＜0，则f(x)在(a，b)上必有零点，若f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)上不一定没有零点．
跟踪演练2 函数f(x)＝e＋x－2零点所在的一个区间是( ) A．(－2，－1) C．(0,1) 答案 C
解析 ∵f(0)＝e＋0－2＝－1＜0，
0
x
B．(－1,0) D．(1,2)
f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，
∴f(0)·f(1)＜0， ∴f(x)在(0,1)内有零点． 要点三 判断函数零点的个数
例3 判断函数f(x)＝ln x＋x－3的零点的个数．
解 方法一 函数对应的方程为ln x＋x－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x的图象交点个数．
在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．
2
2
2
由图象知，函数y＝3－x与y＝ln x的图象只有一个交点．从而ln x＋x－3＝0有一个根，即函数y＝ln x＋x－3有一个零点． 方法二 由于f(1)＝ln 1＋1－3＝－2＜0，
2
2
2
2
f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，
所以f(1)·f(2)＜0，
又f(x)＝ln x＋x－3的图象在(1,2)上是不间断的， 所以f(x)在(1,2)上必有零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．
3
2
规律方法 判断函数零点个数的方法主要有：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数． 跟踪演练3 函数f(x)＝2|log0.5x|－1的零点个数为( ) A．1 B．2 答案 B
解析 将函数零点视为两个函数图象的交点横坐标，分别画出函数图象，利用数形结合求解．
C．3 D．4
x
?1?xx令f(x)＝2|log0.5x|－1＝0，可得|log0.5x|＝??.
?2?
?1?x设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝??，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发
?2?
现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点.
1．函数y＝4x－2的零点是( )
1?1?A．2 B．(－2,0) C.?，0? D. 2?2?答案 D
1
解析 令y＝4x－2＝0，得x＝.
21
∴函数y＝4x－2的零点为.
2
2．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)＜0，则( ) A．方程f(x)＝0一定有实数解 B．方程f(x)＝0一定无实数解 C．方程f(x)＝0一定有两实根 D．方程f(x)＝0可能无实数解 答案 D
解析 ∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)＜0，但未必函数y＝
f(x)在(－1,3)上有实数解．
4
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