2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(湖南卷)
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2013湖南，理1)复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．(2013湖南，理2)某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )．
A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法
3．(2013湖南，理3)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B＝3b，则角A等于( )．
ππππ B． C． D． 12643?y?2x,?4．(2013湖南，理4)若变量x，y满足约束条件?x?y?1,则x＋2y的最大值是( )．
?y??1.?555A．? B．0 C． D．
232A．
5．(2013湖南，理5)函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为( )． A．3 B．2 C．1 D．0
6．(2013湖南，理6)已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是( )． A．[2?1，2?1] B．[2?1，2?2] C．[1，2?1] D．[1，2?2] 7．(2013湖南，理7)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( )．
A．1 B．2 C．
2?12?1 D． 228．(2013湖南，理8)在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P为边AB上异于A，B的一点，光线从
点P出发，经BC，CA反射后又回到点P.若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于( )．
A．2 B．1 C．
84 D． 33二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分．
(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)
9．(2013湖南，理9)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：??x?t,?x?3cos?,(t为参数)过椭圆C：(φ??y?2sin??y?t?a为参数)的右顶点，则常数a的值为__________．
10．(2013湖南，理10)已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为__________． 11．(2013湖南，理11)如图，在半径为7的O中，弦AB，CD相交于点P，PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为__________．
(二)必做题(12～16题)
12．(2013湖南，理12)若
?T0x2dx＝9，则常数T的值为__________．
2013年湖南省高考数学试卷（理科） 第 1 页 共 18 页
13．(2013湖南，理13)执行如图所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为__________．
x2y214．(2013湖南，理14)设F1，F2是双曲线C：2?2?1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点．若
ab|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为__________．
15．(2013湖南，理15)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－
1，n∈N*，则 n2(1)a3＝__________；
(2)S1＋S2＋…＋S100＝__________.
16．(2013湖南，理16)设函数f(x)＝ax＋bx－cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0.
(1)记集合M＝{(a，b，c)|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a＝b}，则(a，b，c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为__________；
(2)若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是__________．(写出所有正确结论的序号)
①?x∈(－∞，1)，f(x)＞0；
②?x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC为钝角三角形，则?x∈(1,2)，使f(x)＝0.
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(2013湖南，理17)(本小题满分12分)已知函数f(x)?sin?x?(1)若α是第一象限角，且f(α)＝??π?π??2xsin，g(x)＝2. ?cosx????26?3??33，求g(α)的值； 5(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．
18．(2013湖南，理18)(本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米． (1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； (2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
2013年湖南省高考数学试卷（理科） 第 2 页 共 18 页
19．(2013湖南，理19)(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.
(1)证明：AC⊥B1D；
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．
20．(2013湖南，理20)(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点A(3,20)，B(－10,0)，C(14,0)处．现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心．
(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明)：
(2)若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．
21．(2013湖南，理21)(本小题满分13分)过抛物线E：x2＝2py(p＞0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1＋k2＝2，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l.
(1)若k1＞0，k2＞0，证明：FM·FN＜2p2；
75，求抛物线E的方程． 5x?a22．(2013湖南，理22)(本小题满分13分)已知a＞0，函数f(x)＝.
x?2a(2)若点M到直线l的距离的最小值为
(1)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a)，求g(a)的表达式；
(2)是否存在a，使函数y＝f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由． 答案：
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）（2013?湖南）复数z=i?（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 考点： 复数的代数表示法及其几何意义． 专题： 计算题． 分析： 化简复数z，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案． 解答： 解：z=i?（1+i）=﹣1+i， 故复数z对应的点为（﹣1，1）， 在复平面的第二象限， 故选B． 点评： 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题． 2013年湖南省高考数学试卷（理科） 第 3 页 共 18 页
2．（5分）（2013?湖南）某校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ） A．抽签法 B． 随机数法 C． 系统抽样法 D． 分层抽样法 考点： 分层抽样方法． 专题： 概率与统计． 分析： 若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样 解答： 解：总体由男生和女生组成，比例为500：500=1：1，所抽取的比例也是1：1． 故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法． 故选D 点评： 本小题主要考查抽样方法，属基本题． 3．（5分）（2013?湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（ ）
A．
ππππ B． C． D． 12643考点： 正弦定理． 专题： 计算题；解三角形． 分析： 利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A． 解答： 解：∵在△ABC中，2asinB=b， ∴由正弦定理∴sinA=∴A=． ==2R得：2sinAsinB=sinB， ，又△ABC为锐角三角形， 故选D． 点评： 本题考查正弦定理，将“边”化所对“角”的正弦是关键，属于基础题． 4．（5分）（2013?湖南）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（ ）
A．?555 B．0 C． D． 232考点： 简单线性规划． 专题： 计算题；不等式的解法及应用． 分析： 作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=，y=时，x+2y取得最大值为． 解答： 解：作出不等式组表示的平面区域， 得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣，﹣1），B（，），C（2，﹣1） 设z=F（x，y）=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移， 当l经过点B时，目标函数z达到最大值 2013年湖南省高考数学试卷（理科） 第 4 页 共 18 页
相关推荐：
loading