于是． ． 由题设k1+k2=2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以0＜故（Ⅱ）由抛物线的定义得所以故圆M的方程为化简得同理可得圆N的方程为于是圆M，圆N的公共弦所在的直线l的方程为又k2﹣k1≠0，k1+k2=2，则l的方程为x+2y=0． 因为p＞0，所以点M到直线l的距离为 =故当时，d取最小值2． ，， ． ， ． ． ，从而圆M的半径． ，解得p=8． ．由题设故所求抛物线E的方程为x=16y． 点评： 本题考查了抛物线的标准方程，考查了平面向量数量积的运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题． 22．（13分）（2013?湖南）已知a＞0，函数
．
（I）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；
（II）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 导数的综合应用． 分析： （I）利用绝对值的几何意义，分类讨论，结合导数确定函数的单调性，从而可得g（a）的表达式； （II）利用曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，建立方程，从而可转化为集合的运算，即可求得结论． 解答： 解：（I）当0≤x≤a时，；当x＞a时， ∴当0≤x≤a时，，f（x）在（0，a）上单调递减； 当x＞a时，，f（x）在（a，+∞）上单调递增． 2013年湖南省高考数学试卷（理科） 第 17 页 共 18 页
①若a≥4，则f（x）在（0，4）上单调递减，g（a）=f（0）= ②若0＜a＜4，则f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增 ∴g（a）max={f（0），f（4）} ∵f（0）﹣f（4）== ；当1＜a＜4时，g（a）=f（0）=， ∴当0＜a≤1时，g（a）=f（4）=综上所述，g（a）=； （II）由（I）知，当a≥4时，f（x）在（0，4）上单调递减，故不满足要求； 当0＜a＜4时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增，若存在x1，x2∈（0，4）（x1＜x2），使曲线y=f（x）在 两点处的切线互相垂直，则x1∈（0，a），x2∈（a，4），且f′（x1）f′（x2）=﹣1 ∴?=﹣1 ∴① ∵x1∈（0，a），x2∈（a，4）， ∴x1+2a∈（2a，3a），∈（，1） ，1）的交集非空 时，A∩B≠? ∴①成立等价于A=（2a，3a）与B=（∵，∴当且仅当0＜2a＜1，即综上所述，存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是（0，）． 点评： 本题考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确分类是关键．
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