高数答案人大

高数答案人大

【篇一：中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第1

章课后习题详解】

>内容概要

课后习题全解 习题1-1

★ 1．求下列函数的定义域：

知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x的取值的集合； 思路：常见的表达式有 ① loga□,（ □?0） ② n/□, （ □?0） ③(??0) ④ arcsin?（? ???1,1?）等 解：（1）y? ?x?0?x?01

??x2????x???1,0???0,1?； ?2x?1?x?0??1?x?1 x?1x?1

??1??1??1?x?3； 22 （2）

y?arcsin （3）

?3?x?0?x?31

y??x??????x????,0???0,3?； x?x?0?x?0 y?

lg3?x

?0?3?x?x?3

?????x????,?1???1,3?； 0?x?11?x,or,x??1x?1?? （4） ?0?x?1 ?2

?x??1,2???2,4?； （5）y?logx?1(16?x)??1?x?1 ?0?16?x2?

★ 2．下列各题中，函数是否相同？为什么？ （1）

（2）y?2x?1与x?2y?1 f(x)?lgx2与g(x)?2lgx； 知识点：函数相等的条件；

思路：函数的两个要素是f（作用法则）及定义域d（作用范围），当两个函数作用法则f相同（化简

后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同； 2

解：（1）f(x)?lgx的定义域d=xx?0,x?r，g(x)?lgx的定义域d?xx?0,x?r}， ???

虽然作用法则相同lgx （2） 2

?2lgx，但显然两者定义域不同，故不是同一函数； y?2x?1，以x为自变量，显然定义域为实数r；

x?2y?1，以x为自变量，显然定义域也为实数r；两者作用法则相同“2□?1”

与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数； ??

sinx,x???3

★ 3．设?(x)?? ?0,x???3? y??(x)的图形

知识点：分段函数；

思路：注意自变量的不同范围； 解：?()?sin ，求?( ?

)，?()，?(?)，?(?2)，并做出函数 644 ?? ?? 6 6 ?

1?2???

，????sin?242?4? ，???

2?????? ??sin???? 2?4??4?

???2??0；如图：

★ 4．试证下列各函数在指定区间内的单调性 ： （1） y? x

???,1? （2）y?2x?lnx，?0,??? 1?x

知识点：单调性定义。单调性是局部性质，函数在定义域内不一定有单调性，但是可以考查定义域的

某个子区间上函数的单调性的问题 。 思路：利用单调性的定义即可。

解： （1）设x1，x2????,1?，当x1?x2时， y1?y2?

（2）设x1，x2 x1xx1?x2

?2??0，由单调性的定义知是单调增函数； 1?x11?x21?x11?x2??0,???，x1?x2， y1?y2?(x1?lnx1)?(x2?lnx2)?(x1?x2)?ln ??0,???，x1?x2，知 x1x2

由x1，x2 x1x

，则有 ?1，故ln1?0（对数函数的性质） x2x2

y1?y2?0， 得结论是单调增函数； ★ 5．设

f(x)为定义在??l,l?内的奇函数，若f(x)在?0,l?内单调增加，证明：f(x)在??l,0? 内也单调增加

知识点：单调性和奇偶性的定义。

思路：从单调增加的定义出发，证明过程中利用奇函数的条件； 证明：设x1, 由

x2???l,0?,

x1?x2， 则?x1 ,?x2?(0,l),?x2??x1，

f?x?在?0,l?内单调增加得，f??x2??f??x1???1?，又f?x?为定义在??l,l?内的奇函

f?x2???f?x1?，即f?x2??f?x1?，则结论成立。 数，则（1）式变形为?

★ 6．设下面所考虑函数的定义域关于原点对称，证明：

（2） 两个偶函数的和仍然是偶函数，两个奇函数的和是奇函数； （3） 两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

知识点：函数奇偶性定义，奇偶性是函数的整体性质。 本题可作为结论应用。

思路：按定义证明即可。 证明：设函数f?x?, （1）设f 当

； g?x?定义域分别是d1,d2（d1,d2是关于原点对称区间）

?x??f?x??g?x?，定义域为d1?d2，显然d1?d2也关于原点对称， f?x?,g?x?均为偶函数时，

f??x??f??x??g??x??f?x??g?x??f?x?， 得 f?x?为偶函数； 当

f?x?,g?x?均为奇函数时，

f??x??f??x??g??x???f?x??g?x???f?x?，得 f?x?为奇函数； （2）令g 当

?x??f?x?g?x?，定义域为d1?d2，d1?d2关于原点对称， f?x?,g?x?均为奇函数时，

g??x??f??x?g??x???f?x?(?g?x?)?g?x?，得 f?x?为偶函数； 当

f?x?,g?x?均为偶函数时，g??x??f??x?g??x??f?x?g?x??g?x?，得f?x?为 偶函数； 当

得g?x? f?x?,g?x?为一奇一偶时，

g??x??f??x?g??x???f?x?g?x???g?x?， 为奇函数；

★ 7．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇函数又非偶函数？