弹性力学及其有限元法

弹性力学及有限元分析

1、 设试件两定点之间的长度为L0，其截面积为F0，加上拉力P后，L0 伸长了△L。我们

把P/ F0 称为拉伸应力（σ），△L/ L0 称为拉伸应变（ε），于是有

σ＝P/ F0 ，ε＝ △L/ L0

某种材料的拉伸应力和拉伸应变的比，称为该材料的杨氏模量或弹性模量(E)，即 E????PL0F0?L，弹性模量E表征了材料的物理性质。

2、 根据力学特性，固体通常分为韧性固体和脆性固体。

首先分析韧性材料，材料在受力变形过程中，明显地有四个特性点划分三各阶段。 a. 弹性阶段，这一阶段的明显特征是，当外力逐渐去掉时，变形也逐渐消失，物体能

够恢复到原来的形状，物体的这种性质称为弹性，存在一个应力极限称为弹性极限。随着外力的消失而消失的变形称为弹性变形；去掉外力后仍然保留的变形称为残余变形或永久变形。弹性阶段另一个明显特征是，应力与应变保持线性关系。设受力方向为x方向，?x?E?x，这就是简单拉伸时的虎克定律，弹性模量E为常数，

表示应力与应变成正比例。通常把弹性极限和比例极限规定为一个值。

b. 塑性阶段，超过弹性极限后，材料开始失去弹性，进入塑性阶段，这时产生较大的

永久变形，应力应变关系不再是线性的。当曲线超过s点（屈服极限）后，材料开

始屈服，即在应力几乎不增加的情况下，应变会不断的增加，称s点为屈服极限；当变形大到一定程度后，材料开始强化，要继续增加变形必须再增加外力，到达b点后产生颈缩。从弹性极限到b的变形范围统称为塑性阶段，属于塑性力学的研究范畴。

c. 断裂阶段，试件产生颈缩后，开始失去抵抗外力的能力，最后发生断裂，相对于b

点的应力称为强度极限。 脆性材料：

它的拉伸曲线图没有明显的三个阶段之分，也没有明显的屈服应力点，材料亦不再满足

d?虎克定律。为了分析上的需要，往往以切线斜率作为弹性模量，即E?。如果对脆性固

d?体材料加载，应力应变曲线将沿着OA上升，若到A点后即行卸载，应力应变曲线并不沿着原来的途径回复到原点，而是沿着直线AB下降，当全部载荷卸去之后，试件中尚残存一部分永久变形?。若以后的加载不超过A点，应力应变关系将在BA上变动，这种脆性材料在重复载荷作用下变成韧性材料的现象称为硬化作用。特别值得注意的是，脆性材料硬化之后，出现了应力应变关系成比例的阶段。这样，根据韧性材料建立的物理模型对于脆性材料同样是有意义的。

3、 在对固体进行拉伸（压缩）实验时，还会看到试件截面的变化，一般说来，当长度伸长

时，截面缩小；长度缩短时，截面增加。假如纵向应变用?x表示，横向应变用?y表示，在简单拉伸，即横向不受力的情形下，二者有如下关系：料的泊松系数或泊松比。

4、 固体在剪力载荷作用下将发生剪应变。

?y?x???；式中，?称为材

''设有一立方体，上、下底的面积为F，受有大小相等方向相反的一对剪力Q，则立方体变成斜方体，其倾角?表示了原来直角的改变。称为剪应变。我们把Q/F定义为剪应力（τ），即??QF，实验指出，

τ与γ满足下式：

???G，式中，G称为

材料的剪切模量，当γ不大时，G为常数。

弹性力学不是一个物质一个物质的

进行研究，而是根据它们共同的、基本的属性，抽象为统一的、理想化了的模型进行研究，物理模型通常是在科学实验的基础上通过假设或公理来建立的。

弹性力学的基本假设如下：

（一） 物体构造的连续性假设，假定组成物体的介质充满了该物体所占有的全部空间，中间没有任何空隙，是连续的密实体。这一假设是建立弹性力学数学模型和求解必须的，只有介质是连续的，物体内部的应力、应变和位移等物理量才可能是连续的，因而才能够用坐标的连续函数来描述它们的变化规律。作为宏观力学的弹性力学不是从颗粒的力学性质出发，而是从宏观的力学实验出发建立各物理量之间的定量关系，亦即从统计平均的意义上统一了真实物质结构与假定之间的矛盾，这在一般情况下已为实验所证实。因而弹性力学与其它微观理论同时得到发展和应用。

（二） 物体的完全弹性假设，假定除去引起物体变形的外力之后，物体能够完全恢复到未知此外力时的原来形状，而没有任何残余变形（在温度保持不变的条件下），并假定材料服从虎克定律，即应力与应变成正比。这样，物体在任意瞬时的应变就完全取决于该瞬时所受到的外力，而与它在该瞬时以前的受力历史情况无关，与施加外力的次序无关，亦即，弹性材料对变形的历史无“记忆性” 。

（三） 物体的均匀性假设，假定整个物体是由同一种材料组成的。

（四） 物体的各向同性假设，假定物体的力学性质在各个方向上都是相同的。 （五） 小变形假设，假定物体在受力变形以后，体内所有各点的位移都远远小于物体的原来尺寸，应变和转角远远小于1。这一假定，使得在建立弹性体变形以后的平衡方程时，可以用变形以前的尺寸，并不考虑力作用方向随着变形的改变；在研究变形和位移时方可略去应变和转角的二次项和交乘项，从而简化了弹性力学的数学模型，使外力与变形或内力成为线性关系，在一般情形下可利用叠加原理。至于考虑几何上的有限变形或大变形问题，则由几何非线性弹性力学及板、壳的大挠度理论进行专门的研究。

第二节 弹性力学的基本方法及其有限元法概念

弹性力学是把牛顿力学由刚体应用到连续介质上的一个桥梁。简略的回忆一下质点力学和刚体力学中某些常用的概念。 在研究质点静力学时，我们知道，质点处于平衡的充分和必要条件是作用于该质点上诸力的合力（几何力）为零。这通常称为静力平衡条件。对于作用于刚体上的空间力系，保证平衡的充分和必要条件，是合力（主向量）和合力矩（主矩）都为零。

?在弹性静力学中考察质点的运动就是研究质点的位移，它可用一个位移向量f或它沿

坐标轴的三个分量u，v，w来表示。

?刚体的运动，可以分为平移和转动，平移对于刚体上的每点都是相同的，用位移向量fp或它的三个分量表示；绕x，y，z轴的转动角分别为?x,?y,?z表示。由于转角，使刚体上各点产生了不同的位移。设有一刚体如图0-4所示。现求在微小转角情况下，任意一点A的位移。先设刚体只绕z轴转动?z角，这时A（x，y，z）移至A'(x?u',y?v',z?w')。

由图0-4（b）有：AA'?r?z

u??AAsin????zrsin????zyv?AAcos???zrcos???zx''''

??0或写成矩阵形式

?u'??0??z?'???v????z0?'??00?w??0??x????0?y? （a） ???0???z?'以后，用{}表示列阵（或列向量），用[ ]表示行阵（或行向量）和矩阵。

若继续绕y轴和x轴旋转微角?y,?x，可以得到相应位移表达式，分别记为：

?u''??0?''???v???0?''??????w?

y0?y??x????00??y? （b）

?z?00?????u'''??000??x??'''??????v???00?x??y? （c） ?'''??0??0??z?x????w??因此，当刚体产生三个微小转动角?x,?y,?z时，其上任一点产生的位移为式（a）、（b）、（c）的叠加，记为：

??z?y??x??ur0??0???????fr0???vr0????z0??z??y? (0-10)

?w??????0???zy?r0????z?式中?fr0?――刚性转动位移列阵。

如分别将旋转变换矩阵、坐标列阵、平移位移列阵和刚性位移列阵记为 ?0??z?y????????0??zz??????y??z0???????xypz?vpvrT

?f???upwp?wr?TT?fr???ur则刚性位移（或称刚体位移）可表为?fr???fp???????? （0――15） ?ur??up??0?????其展开形式为：?vr???vp????z?w????r??wp?????y??x0?x?????z?y? ???0???z??y??x?注意到旋转变换矩阵???是一反对称矩阵。

在弹性力学的精力学方面，同样是研究物体的平衡条件。但是，对于变形体，外力平衡

只是平衡的必要条件，而不是充分条件。即物体承受的外力是平衡力系，还不能保证弹性体内部处处平衡，因此，还必须研究弹性体内部的平衡，这是连续体力学主要研究的平衡关系。为此，我们假想弹性体是由内部为无限多个无限小的微元平行六面体和边界表面为无限多个无限小的微元四面体所组成的集合体。在变形完成之后把每一个微元看成是刚体（称为刚化原理）并研究它们的平衡，即可建立弹性力学的平衡微分方程式和力的边界条件。在小变形情况下，平衡条件是在变形前的微元体上建立的。由于未知应力数大于方程式数，所以，弹性力学问题总是超静定的，因此，必须研究问题的几何方面和物理方面。

在弹性力学中研究运动的几何学方面，同样要研究弹性体内部任一点的位移。但是，只用式（0－15）表示刚性位移就不够了，还必须研究物体因变形而产生的位移，这是弹性力学中主要研究的位移。所以，变形体的位移，在一般情形下必须包含刚性位移和变形位移两部分。由于破坏前弹性体是连续的，变形后不允许产生裂缝或重叠，因此位移和变形也必须是连续的。研究位移和应变的关系、微元之间的变形协调条件就可得出弹性力学的几何微分方程式或与之等价的变形连续性方程式（亦称变形协调方程式或相容方程式）。研究边界位