移与外加约束的协调性可以建立位移边界条件。
与刚体力学不同，对于变形体还必须研究应力与应变之间的物理关系（本构关系），对于弹性体，这种关系极为简单，就是广义虎克定律。对于各向同性弹性体，根据（0－3）、（0－5）、（0－7），并根据变形的独立作用和可加性，虎克定律可写为
?x??y??z???1E1E1E??????x?????????????y??????;?z???? （0－16）
yxzzyx????xyGxy;??yzG?zxGE2?1???yzzx可以证明，弹性常数E、G、μ间有如下关系：G? （0－17）
弹性力学就是通过静力、几何、物理三方面的研究来建立描述弹性体在外力作用下运动规律的数学模型的，最后得到一组高阶偏微分方程及相应的边界条件。这一步工作在经典弹性力学中已经完成，并为科学实验和工程实践所证实。上述只根据弹性力学基本假设建立起来的弹性理论称为数学弹性理论。如果除了基本假设外，还引用某些附加的几何变形假设或应力分布规律假设，例如，在梁、板、壳里面引用的直法线假设，这样的弹性理论称为应用弹性理论。应用弹性理论使数学模型简化，从而扩大了弹性力学解决实际问题的范围。
在公共边界上满足位移连续的单元称为协调单元，否则称为非协调单元。 有限元法的分析步骤大致如下: （一） 续体的离散化
将连续体划分为有限个离散单元。 （二） 选择单元位移函数
假设的单元位移函数只能近似的表示真实的（精确的）位移场，通常假定为多项式形式。如弹性平面问题三角形单元，最简单的位移函数可以选为线性多项式。
（三） 建立单元刚度矩阵
设节点力列阵用{F}表示，节点位移列阵用{d}表示，则单元的物理方程为
?k??d???F? （0－18）
单元刚度矩阵通常用变分法建立。它的元素实际上就是影响系数，与位移函数、单元形状、单元材料性质及本构关系有关。
（四） 建立总刚度矩阵
将各个单元刚度矩阵集合成结构的总刚度矩阵，常用的集合方法是对号集成法（直接刚度法）或变分法。结构的节点平衡方程式可由总刚度矩阵表示为
?K??u???P? （0－19） ?K???结构总刚度矩阵；式中?P???整体节点载荷列阵；?u???整体节点位移列阵。
考虑节点支承条件，适当修改这些方程后，即得到可解代数方程组。 （五） 求解代数方程组，得到所有节点位移分量。 （六） 由节点位移求内力或应力。
第三节 弹性力学中基本物理量的定义、记号和正负号规定
弹性力学中经常遇到的物理量有四个，它们是：外力、应力、应变和位移。这些量常在某一坐标系中给定，本书采用右手正交坐标系。
一、外力
作用于物体上的外力通常分为两类：体积力（也称为体力）和表面力（也称为面力）。 体积力系指分布在物体全部体积内的力，它作用于物体内部的每个质点上，例如重力、磁引力和惯性力等等。一般情形下，各点所受到的体积力是不相同的，它是各点位置坐标的函数。
面力系指分布于物体表面上的力，如与该物体相接触的气体、液体或固体的压力等等。一般情形下物体表面上各点所受到的表面力是不相同的，它是表面上各点位置坐标的函数。
二、应力
在外力作用下的物体，内部将产生抵抗变形的内力。为了研究某点K的内力，我们假想用一平面S过K点将该物体截分为A、B两部分。这种方法就是截面法。应用截面法，就可以把牛顿力学的法则引入连续体的内部。根据牛顿第三定律，A、B两部分将相互作用以力（这里是内力），并且大小相等、方向相反。物体内部过K点、外法线为v截面上的应力，它亦是一个向量，称为应力向量。显然，过K点可以取无数多个不同的截面S，也就可以定义出无数个不同的应力向量。因此，一点的应力向量，不仅取决于该点的位置，还取决于截面的方向。但是，以后将证明，如果已知过某点三个相互垂直截面上的三个应力向量，则过该点任何其它方向截面上的应力向量均可求出。亦即，这三个应力向量完全确定了该点的应力状态。
正应力分量用一个下标表示，代表应力所在截面的法线方向，也是应力方向；剪应力分量用两个下标表示，第一个代表应力所在截面的法线方向，第二个代表应力本身的方向。由定义知，应力的量纲是[力][长度]-2。以后将证明：作用于两个相互垂直面上并且垂直于该两面交线的剪应力互等（大小相等，正负号相同），通常称为剪应力互等定理，即：
?xy??xy,?yz??zy,?zx??xz (0――24)
如是，剪应力的两个下标可以互换，在三个相互垂直面上应力向量的九个分量只有六个是不同的。它们组成一个二阶对称的应力丈量，二阶丈量可以用矩阵表示，记为：
??x???????xy??xz????yxyyz?zx??xy? （0－25） ?z???式（0－25）称为应力张量矩阵。以后将证明，过一点任意截面上的应力分量，完全由该点的应力张量唯一地确定。亦即，一点的应力状态是用该点的应力张量表示的。
三、应变 在外力作用下的物体，其内部的每一部分都将要发生变形，欲考察物体内部某点K的变形情况，只须研究通过该点微元线素长度的变化和两条微元线素所夹角度的变化。设过K点某一微元线素长度为?l，变形后长度为?l，我们规定极限
'lim?l?0?l??l?l'?dl?dldl'??l （0－26）
为K点在l方向的正应变。亦即，正应变表示单位长度线素的伸长或缩短， 见图0－8（a）。
设dlr和dls 为过点K的两条相互垂直的微元线素，我们定义变形后该二线素所夹直角的改变（以弧度计）为剪应变，记为?ts或?st，它由两部分组成，一是s方向线素向r方向的转角?rs，另一是r方向线素向s方向的转角?sr，如图0－8（b），于是有
?sr??rs??rs??sr （0－27）
规定正应变以伸长为正，缩短为负；剪应变以直角的减小为正，增加为负。按照定义，应变为无量纲的量。
四、位移
物体内部每一点在受力变形过程中，都将要发生位置的变化，称为位移。它是一个向量，用f表示，在三个坐标轴方向的分量记为u，v，w，见图0－9。一个微元体的位置变化，系由两部分组成，其一是周围介质位移使它产生的位移，其二是本身变形产生的位移。其后者与应变有着确定的几何关系。
第一部分
第一章 弹性平面问题的基本理论
第一节 两种平面问题
一、平面应力问题
（一）几何形状特征：物体在一个坐标方向（例如z）的几何尺寸远远小于其它两个坐标方向的几何尺寸，如图1－1（a）的薄板。
（二）载荷特征：在薄板的两个侧表面上无表面载荷，作用于边缘的表面力平行于板面，且沿厚度不发生变化，或虽沿厚度变化但对称于板的中间平面（图1－1），体积力亦平行于版面且沿厚度不变。
（三）简化分析
因为已知薄板两侧面无表面力作用，即??z?z??t/2?0,??zz?z??t/2?0,??zy?z??t/2?0
严格说来，在薄板内部这三个量是不为零的（图1－2，a），但是由于板很薄，且在所给载荷情形下，薄板不受弯曲作用，可以认为在板内所有各点都有?x?0,?zx?0,?zy?0，根
据剪力互等定理，?zx?0,?yx?0。于是在波办内部就只剩下三个应力分量了，它们是： ?x,?y,?xy，都属于oxy平面内的应力，故称这类问题为平面应力问题。同时，由于板很薄，
可以认为沿板的厚度这三个应力是均匀分布的，或虽认为沿厚度由很小的变化，但是我们的分析是计算其平均值，即 ??x?1tt/2??t/2?xdz;??y?1t?t/2?t/2?ydz;??xy?1t?t/2?t/2?xydz
以上即为计算的平均量，为书写方便，以后仍采用原来的记号。（图1－2，b）。这样以来， ?x,?y,?xy与z无关。
相关推荐：
loading