点到直线的距离公式的七种推导方法

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点到直线的距离公式的七种推导方法

已知点 P(x0,y0)直线l:Ax?By?C?0(A?0,B?0)求点P到直线 l的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线） 一、 定义法

证：根据定义，点P到直线 l的距离是点P到直线 l的垂线段的长，如图1，

设点P到直线l的垂线为 l，垂足为Q，由 l'?l可知 l'的斜率y'Pll'xB为 A

y?y0?B(x?x0)A与l联立方程组

Q图1?l'的方程：

B2x0?ABy0?ACA2y0?ABx0?BCQ(,)2222A?BA?B解得交点

B2x0?ABy0?ACA2y0?ABx0?BC2|PQ|?(?x0)?(?y0)22222A?BA?B?A2x0?ABy0?AC2?B2y0?ABx0?BC2?()?()2222A?BA?BA2(Ax0?By0?C)2B2(Ax0?By0?C)2(Ax0?By0?C)2???(A2?B2)2(A2?B2)2A2?B22?PQ|?|Ax0?By0?C|A2?B2

二、 函数法

证：点P到直线 l上任意一点的距离的最小值就是点P到直线l的距离。在l上取任意点 Q(x,y)用两点的距离公式有，为了利用条件Ax?By?C?0上式变形一下，配凑系数处理得：

’.

；

(A2?B2)[(x?x0)2?(y?y0)2]?A2(x?x0)2?B2(y?y0)2?A2(y?y0)2?B2(x?x0)2?[A(x?x0)?B(y?y0)]2?[A(y?y0)?B(x?x0)]2?[A(x?x0)?B(y?y0)]2?(Ax0?By0?C)2(Ax?By?C?0)(x?x0)2?(y?y0)2?|Ax0?By0?C|A2?B2

时取等号所以最小值就是

当且仅当

d?A2?B2A(y?y0)?B（x?x0）|Ax0?By0?C|

三、不等式法

证：点P到直线 l上任意一点Q(x,y)的距离的最小值就是点P到直线

l的距离。由柯西不等式：

(A2?B2)[(x?x0)2?(y?y0)2]?[A(x?x0)?B(y?y0)]2?(Ax0?By0?C)2Ax?By?C?0,?(x?x0)2?(y?y0)2?|Ax0?By0?C|A2?B2 当且仅当

d?A2?B2A(y?y0)?B（x?x0）时取等号所以最小值就是

|Ax0?By0?C| y四、转化法

证：设直线 l的倾斜角为 ?过点P作PM∥ y轴交l于M (x1,y1)显然x1?x0所以

y1??PMlQxlyQPMx图2图3Ax0?CAx?CAx?By0?C?|PM|?|y0?0|?|0|bBB

易得∠MPQ＝ ?（图2）或∠MPQ＝1800??（图3） 在两种情况下都有

cos?MPQ?’.

A2tan?MPQ?tan??2B22所以

11?tan2??|B|A2?B2 ；

|PQ|?|PM|cos?MPQ?|Ax0?By0?C|B|B|A2?B2?|Ax0?By0?C|A2?B2

y五、三角形法 证：P作

PM∥ y轴交l于

M，过点P作PN∥ x轴交l于N

PMNQx（图4） 由解法三知

|PM|?|Ax0?By0?CAx?By0?C||PN|?|0|BA；同理得

l图4在Rt△MPN中，PQ是斜边上的高

?|PQ|?|PM|?|PN||PM|2?|PN|2?|Ax0?By0?C|A2?B2 六、参数方程法

?x?x0?tcos?l':?证：过点P(x0,y0)作直线 ?y?y0?tsin?交直线l于点

Q。(如图

1)

由直线参数方程的几何意义知|t|?|PQ|，将 l'代入 l得

Ax0?Atcos??By0?Btsin??C?0

整理后得

|t|?|Ax0?By0?C|...........(1)?Acos??Bsin?

当 l'?l时，我们讨论 ?与 l的倾斜角?的关系： 当 ?为锐角时 （

cos???sin???tan???A?0,不妨令A>0,B<00B）有??90??（图

2）

tan?1?tan2?A2?B2A2?B21|B|?Bsin??cos?????1?tan2?A2?B2A2?B2??B??A

3）

当 ?为钝角时 （

’.

tan???A?0,不妨令A>0,B>00B）有????90（图