设点P的坐标为（a，
1a＋2），其中a＞0。 211由题意，得S△ABP＝（a＋4）（a＋2）＝9，
22 解得a＝2或a＝－10（舍去）。
1a＋2＝3，∴点P的坐标为（2，3）。 2k （2）设反比例函数的解析式为y＝。
xk ∵点P在反比例函数的图象上，∴3＝，k＝6 。
26
∴反比例函数的解析式为y＝。
x6设点R的坐标为（b，），点T的坐标为（b，0）其中b＞2，那么BT＝b
b6－2，RT＝。
bRTBTRTAO?①当△RTB∽△AOC时，，即??2， AOCOBTCO6∴b?2，解得b＝3或b＝－1（舍去）。 b?2 而当a＝2时，
∴点R 的坐标为（3，2）。 ②当△RTB∽△COA时，
RTBTRTCO1?，即??， COAOBTAO261∴b? ，解得b＝1＋13或b＝1－13（舍去）。 b?22∴点R 的坐标为（1＋13，
13?1）。 213?1）。 2综上所述，点R的坐标为（3，2）或（1＋13，
【考点】一次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。
【分析】（1）根据点在直线上，点的坐标满足方程的性质，求出BP，AB的值从而可求出点P的坐标。
（2）设R点坐标为（x，y），求出反比例函数．又因为△BRT∽△AOC，利用线段比
联立方程组求出x，y的值。
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3.（上海市2003年10分）卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分，在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝5cm，拱高OC＝0.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB。如图，在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图：
（1）求出图上以这一部分抛物线为图像的函数解析式，写出函数定义域；
（2）如果DE与AB的距离OM＝0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：2≈1.4，计算结果精确到1米）
【答案】解：（1）∵顶点C在y轴上，∴设以这部分抛物线为图象的函数解析式为y?ax2?9。 109518?5?∵点A（?，0）在抛物线上，∴0?a????，得a??。
2102125??∴所求函数解析式为：y??21829?55?x????x??。 12510?22?9918295，∴??x?，得x=?2。 20201251045959∴点D的坐标为（?），点E的坐标为（）。 2，2，
420420555∴DE=2)=2－(?2。
4425因此月河河流宽度为2×11000×0.01=2752?385（米）。
2（2）∵点D、E的纵坐标为
【考点】二次函数的应用，曲线上的点与方程的关系。 【分析】（1）因为C在y轴上，故设抛物线的解析式为y?ax2?式求出a即可。
（2）因为点D、E的纵坐标相同，易求DE的长。
4.（上海市2003年10分）已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图，二次函数
9，把A点坐标代入解析10y?ax2?bx?c(a?0)的图象经过点A、B，与y轴相交于点C。
（1）a、c的符号之间有何关系？
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（2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证a、c互为倒数； （3）在（2）的条件下，如果b＝－4，AB＝43，求a、c的值。
【答案】解：（1）由图可知：当抛物线开口向下，即a＜0时，c＜0（如图）；
当抛物线开口向上，即a＞0时，c＞0； 因此a、c同号。
（2）设A（m，0），B（n，0），
抛物线的解析式y?ax2?bx?c(a?0)中，令y=0，得：
ax2?bx?c=0。
c22，OC=c。 ac22
∵OA?OB=OC，∴=c，解得ac=1。
a所以a、c互为倒数。
∴OA?OB=mn=
（3）由题意知：y?ax?4x?2114，则m＋n=，mn=。
2aaa2
∵AB=43，∴AB=48。
1?4?22
∴（n－m）=48，即（m+n）－4mn=48，???4?=48。
a?a?1。∴c=?2。 211因此a、c的值分别为：、2或－、－2。
22解得a=?【考点】二次函数综合题，一元二次方程根与系数的关系。
【分析】（1）根据A、B点的位置即可判断出当抛物线开口向下时，函数图象与y轴交于负半轴，当抛物线开口向上时，函数图象与y轴交于正半轴，即a、c同号。
（2）当CO=OA?OB时，可用c表示出OC，用a、c表示出OA?OB，代入上式即可求得
2
2a、c是否为倒数关系。
（3）沿用（2）的思路，首先将b值代入抛物线的解析式中，可依据韦达定理表示出AB的长，几何a、c的倒数关系，即可求得a、c的值。
5.（上海市2004年12分）数学课上，老师出示图和下面框中条件。
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），点B在x轴上，且在点A的右侧，- 11 - / 23
AB=OA，过点A和B作x轴的垂线，分别交二次函数y?x2的图象于点C和D，直线OC交BD于点M，直线CD交y轴于点H，记点C、D的横坐标分别为x、xCD，点H的纵坐标为yH． 同学发现两个结论：
①S； ：S?2：3?CMD梯形ABMC ②数值相等关系：x。 ?x??yCDH （1）请你验证结论①和结论②成立；
（2）请你研究：如果将上述框中的条件“A点坐标（1，0）”改为“A点坐标为”，其他条件不变，结论①是否仍成立？（请说明理由） (t，0)，(t?0) （3）进一步研究：如果将上述框中的条件“A点坐标（1，0）”改为“A点坐标为
22”，又将条件“y?x”改为“y”，其他条件不变，那么(t，0)，(t?0)?ax(a?0)x、xCD和yH有怎么样的数值关系？（写出结果并说明理由）
【答案】解：（1）由已知可得点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（1，1），点D的坐标为（2，4），由点C坐标为（1，1）易得直线OC的函数解析式为y? x ∴点M的坐标为（2，2），
∴S?CMD?1，S梯形ABMC?3。 23， 即结论①成立。 ∴SCMD：S梯形ABMC?2： 设直线CD的函数解析式为y? kx?b?k?b?1?k?3 则?，得?
2k?b?4b??2??- 12 - / 23
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