（2）由已知，求出
BEAE，即可证得DC∥AB。 ?DECE （3）分AD∥BC和AD与BC所在直线不平行两种情况讨论即可。
9.（上海市2008年12分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．二次函数
y??x2?bx?3的图像经过点A(?1，0)，顶点为B．
（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点B的坐标（5分）；
（2）如果点C的坐标为(4，0)，AE?BC，垂足为点E，点D在直线AE上，DE?1，求点D的坐标（7分）．
2【答案】解：（1）∵二次函数y??x?bx?3的图像经过点A(?1 0)，，
∴0??1?b?3，得b?2。所求二次函数的解析式为
y??x2?2x?3。[来源:中.考.资.源.网]
则这个二次函数图像顶点B的坐标为(1 4)，。 （2）过点B作BF?x轴，垂足为点F。
在Rt△BCF中，BF?4，CF?3，BC?5， ∴sin?BCF?4。 5AE4AE?。，又AC?5，可得55AC 在Rt△ACE中，sin?ACE?∴AE?4。
过点D作DH?x轴，垂足为点H。由题意知，点H在点A的右侧， 易证△ADH∽△ACE．∴
AHDHAD。 ??AECEAC 其中CE?3，AE?4。设点D的坐标为(x，y)，则AH?x?1，
DH?y。
①若点D在AE的延长线上，则AD?5，得
x?1y5??， 435 3)。 ∴ x?3，y?3。∴点D的坐标为(3， ②若点D在线段AE上，则AD?3，得 ∴ x?x?1y3??， 43597?79? ?。 ，y?。∴点D的坐标为?，55?55?- 17 - / 23
?。 综上所述，点D的坐标为(3， 3)或?，【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的顶点坐标，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质。
2【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，由二次函数y??x?bx?3的
?79??55?图像经过点A(?1，0)，可求得b?2，从而得到二次函数的解析式。把二次函数的解析式化为顶点式y???x?1??4，可得这个二次函数图像顶点B的坐标为(1 4)，。 （2）过点B作BF?x轴，垂足为点F，过点D作DH?x轴，垂足为点H。分点D在AE的延长线上和点D在线段AE上两种情况分别求出点D的坐标为(3， 3)或
2?79? ?。 ?，55??10.（上海市2010年12分）如图，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y＝－x＋bx＋c过点A(4,0)、B(1,3) .
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l
的对称点为E，
点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值. 【答案】解：（1）将A(4,0)、B(1,3)两点坐标代入抛物线的方程得：
2???4?4b?c?0 ?2，解之得：b=4，c=0
???1?b?c?32
∴抛物线的表达式为：y??x2?4x。
将抛物线的表达式配方得：y??x2?4x???x?2??4 ∴该抛物线的对称轴为x=2，顶点坐标为（2，4）。 （2）点p（m，n）关于直线x=2的对称点为点E（4－m，n），点E关于y轴的对称点为点F（4－m,－n）。[来源:学.科.网] 则四边形OAPF可以分为：△OFA与△OAP，
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∴
SOFAP?S?OFA?S?OPA=
S?OFA?1?OA?n2+
S?OPA?1?OA?n= 4n=20 2 ∴n=5。
∵点P为第四象限的点，∴n<0，∴n= －5。 代入抛物线方程得m=5。
【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，抛物线的性质，轴对称的性质。
【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将点A、B的坐标代入函数关系式即可求出b=4，c=0，得到抛物线的表达式。将表达式化为顶点式即可得到该抛物线的对称轴和顶点坐标。
（2）根据轴对称的性质可得到点E和F的坐标，由已知四边形OAPF的面积为20，
列式求出n， 代入抛物线方程求得m。
11.（上海市2011年12分）已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数y?3x?3的图 像与y轴交于点A，点M在正比例函数y?3x的图像
42上，且MO＝MA．二次函数y＝x＋bx＋c的图像经过点A、M．
（1）求线段AM的长；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图
像上，点D在一次函数y?3x?3的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．
42
【答案】解：（1）在一次函数y?3x?3中，当x=0时，y=3。∴A（0，3）。
4∵MO=MA，∴M为OA垂直平分线上的点，而OA垂直平分线的解析式为y?又∵点M在反比例函数 y?3x上，∴M（1，
23。 23）。 2又∵A（0，3）．∴AM=
2
13。 2（2）∵二次函数y＝x＋bx＋c的图象经过点A、M．可得
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35??5?1?b?c??b?－2
xx＋3。，解得。∴这个二次函数的解析式＝－ y22??2???0?0?c?3?c?3（3）∵点D在一次函数 y=y?3x?3的图象上，
42则可设D（n， 3n?3），设B（0，m）（m＜3），C（n， n?45n+3）。 2∵四边形ABDC是菱形，
2∴| AB |=3—m，| DC |=yD?yC = 3n?3－（n?45132n+3）n。= ?n? 245?3?| AD |=?n?0???n?3?3??n
4?4?222∵ | AB |=| DC |，∴3－m= ?n?13n①。 45∵| AB |=| AD |，∴3－m= n②。
4解①②得，n 1=0（舍去），n 2=2。
2将n=2，代入C（n， n?5n+3）。∴点C的坐标为C（2，2）。 2【考点】二次函数综合题，线段垂直平分线的性质，曲线上的点与方程的关系，待定系数法，菱形的性质，勾股定理。
【分析】（1）先求出根据OA垂直平分线上的解析式，再根据两点的距离公式求出线段AM的长。
（2）二次函数y＝x＋bx＋c的图象经过点A、M．由待定系数法即可求出二次函
数的解析式。
2（3）可设D（n， 3n?3），，C（n， n?2
45n+3）且点C在二次函数y＝x22－
5x＋3上，根据菱形的性质得出| AB |=| DC |，| AB |=| AD |，得到方程求解即可。 212.（2012上海市10分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示． （1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量． （注：总成本=每吨的成本×生产数量）
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