十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题05 三角函数

∴f(x)的最小正周期是π.故选C.

11.(2018·全国1·文T8)已知函数f(x)=2cosx-sinx+2,则( ) A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3 B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4 【答案】B

【解析】因为f(x)=2cosx-(1-cosx)+2=3cosx+1=3×

2π

=π,当22

2

22

2

1+cos2x35

+1=cos 2x+,所以函数222f(x)的最小正周期为

cos 2x=1时,f(x)max=4.

π

π

12.(2018·天津·理T6)将函数y=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数( )

510A.在区间[4,4]上单调递增B.在区间[4,π]上单调递减 C.在区间[4,2]上单调递增D.在区间[2,2π]上单调递减 【答案】A

【解析】函数y=sin(2x+)

5y=sin[2(x-10)+5]=sin 2x.

当-2+2kπ≤2x≤2+2kπ,k∈Z,即-4+kπ≤x≤4+kπ,k∈Z时,y=sin 2x单调递增. 当+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,即+kπ≤x≤+kπ,k∈Z时,y=sin 2x单调递减, 结合选项,可知y=sin 2x在[

3π5π

,]上单调递增.故选A. 44π

23π2π43π4π

π

π

π

π

π

π

5π

3π

3π

3π

5π

3π

13.(2018·全国2·理T10)若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]是减函数,则a的最大值是( ) A. 【答案】A

【解析】f(x)=cos x-sin x=-√2sin x·√2-cos x·√2=-√2sin x-4,

22当x∈[-4,4π],即x-4∈[-2,2]时,

y=sin x-4单调递增,y=-√2sin x-4单调递减.

∵函数f(x)在[-a,a]是减函数,∴[-a,a]?[-4,4π],∴0

3

π

π

π

π

π

3

π

π

π

π

π

4B. π2C.

3π4D.π

5

14.(2017·全国3·文T4)已知sin α-cos α=3,则sin 2α=( ) A.- 【答案】A

【解析】∵(sin α-cos α)=1-2sin αcos α=1-sin 2α=9,∴sin 2α=-9. 15.(2017·山东·文T4)已知cos x=,则cos 2x=( ) A.-4 【答案】D

【解析】cos 2x=2cos

2

2

4

79B.- 29C.

29D.

79167

341

B.4

1

C.-8

321

x-1=2×(4)-1=8.

1

D.8

1

16.(2017·全国3·理T6)设函数f(x)=cos(x+),则下列结论错误的是( )

3A.f(x)的一个周期为-2π

8π3π

B.y=f(x)的图象关于直线x=对称 C.f(x+π)的一个零点为x=6 D.f(x)在(2,π)单调递减 【答案】D

【解析】由f(x)=cos(??+3)的【解析】式知-2π是它的一个周期,故A中结论正确;

将x=3代入f(x)=cos(??+3),得f(3)=-1,故y=f(x)的图象关于直线x=3对称,故B中结论正确;

8π

π

8π

8π

π

π

π

f(x+π)=cos(??+

π

4π

),当3π

x=6时,f(x+π)=cos(6+

4π

ππ

4π

)=0,故C3中结论正确;

当x∈(2,π)时,x+3∈(6,3),显然f(x)先单调递减再单调递增,故D中结论错误. 17.(2017·全国2·文T3)函数f(x)=sin(2x+)的最小正周期为( ) 3A.4π 【答案】C

【解析】T=2=π,故选C.

18.(2017·天津·T7)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π,若f(8)=2,f(8)=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则( ) A.ω=3,φ=12 2

π

5π

11π

2π

π

5π

B.2π C.π

D.2

π

B.ω=3,φ=-12

6

211π

C.ω=3,φ=-24 D.ω=3,φ=24 【答案】A 【解析】∵f（

11π5π

）=2,f（8）=0,且8111π17π

f(x)的最小正周期大于2π,

∴f(x)的最小正周期为4（

2π

2

11π5π

?8）=3π. 82

∴ω=3π=3,∴f(x)=2sin （3x+φ）. ∴2sin （3×

2

π5π

+φ）=2,∴φ=2kπ+12,k∈Z. 8π

又|φ|<π,∴取k=0,得φ=12.

19.(2017·山东·文T7)函数y=√3sin 2x+cos 2x的最小正周期为( ) A.2 【答案】C

【解析】因为y=√3sin 2x+cos 2x=2(

√3π

B.3 2π

C.π D.2π

sin2??+cos2??)=2sin(2??+),所以其最小正周期T==π. 2262

2π

1π2π

20.(2017·全国1·理T9)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin(2x+3),则下面结论正确的是( )

A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6个单位长度,得到曲线C2 B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12个单位长度,得到曲线C2 C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6个单位长度,得到曲线C2 D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2 【答案】D

【解析】曲线C1的方程可化为y=cos x=sin(??+),把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,

22得曲线y=sin(2??+)=sin 2(??+),为得到曲线C2:y=sin 2(??+),需再把得到的曲线向左平移个单位长

24312度.

21.(2017·全国3·文T6)函数f(x)=5sin(x+3)+cos(x-6)的最大值为( ) A.5 【答案】A

【解析】因为cos(??-6)=cos[2-(??+3)]=sin(??+3),所以f(x)=5sin(??+3)+sin(??+3)=5sin(??+3),故函数f(x)的最大值为5.故选A.

7

6π

π

π

π

1

π

π

6

π

6

1

π

π

π

π

π

π

π

1

1

2π121

πππ

B.1

C.5

3

D.5

1

22.(2016·全国2·理T9)若cos(4-α)=5,则sin 2α=( ) A. 【答案】D

【解析】cos[2(-??)]=2cos(-??)-1=2×()-1=-,且cos[2(-??)]=cos(-2??)=sin 2α,故选D.

445254223.(2016·全国3·理T5)若tan α=,则cosα+2sin 2α=( ) A.25 【答案】A 【解析】由

3tan α=,得

464

342

π3

725B.

15C.-

15D.-

725π

2

π

32

7ππ

B.25

48

C.1

D.25

3

16

cos

2

cos2??+4sin??cos??

α+2sin 2α=cos2??+sin2??13=

1+4tan??1+tan2??=

321+(4)

1+4×4=

42516=

64

.故选25A.

24.(2016·全国3·文T6)若tan θ=-,则cos 2θ=( ) A.- 【答案】D

【解析】cos 2θ=cosθ-sinθ=cos2??+sin2??=1+tan2??=

2

2

45B.- 15C.

15D.

45cos2??-sin2??1-tan2??

1-(-3)

1

12

21+(-3)=5.故选D.

π

π

π

4

25.(2016·全国1·理T12)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤2),x=-4为f(x)的零点,x=4为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在(A.11

π5π

,)单调,则ω1836的最大值为( )

B.9 C.7 D.5

【答案】B

【解析】由题意知4--4=+,k∈Z,即=

422又因为f(x)在(所以

5ππ

?3618π5π

)单调, 18,36π

2π

π

π

π

??

????

π

2??+12??+12π

T=4·??,k∈Z,又4

ω>0,所以ω=2k+1,k∈Z.

≤2,T≥6,即??≥6,ω≤12.

??

因为ω>0,所以0<ω≤12.

若ω=11,又|φ|≤2,则φ=-4,此时f(x)=sin 11x-4,f(x)在满足条件;

若ω=9,又|φ|≤2,则φ=4,此时f(x)=sin 9x+4,满足f(x)在单调的条件,由此得ω的最大值,1836为9.

π

π

π

π5π

π

π

π

π3π

,1844

单调递增,在

3π5π,4436

单调递减,不

8