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§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2．3.1 平面向量基本定理
自主学习
知识梳理
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个__________向量，那么对于这一平面内的________向量a，____________实数λ1，λ2，使a＝________________.
(2)基底：把__________的向量e1，e2叫做表示这一平面内________向量的一组基底． 2. 两向量的夹角与垂直
→→
(1)夹角：已知两个______________a和b，作OA＝a，OB＝b，则__________＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a与b的夹角．
①范围：向量a与b的夹角的范围是__________． ②当θ＝0°时，a与b________. ③当θ＝180°时，a与b________.
(2)垂直：如果a与b的夹角是________，则称a与b垂直，记作________．
自主探究
设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量．通过作图法可以证明：一定存在一组实数(λ1，λ2)使a＝λ1e1＋λ2e2成立，并且(λ1，λ2)是唯一的，请你根据图1和图2叙述这一过程．
对点讲练
知识点一 对基底概念的理解
例1 如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( ) ①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1
＋μ2e2)；
④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0. A．①② B．②③ C．③④ D．②
回顾归纳 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．
变式训练1 设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①e1与e1＋e2； ②e1－2e2与e2－2e1； ③e1－2e2与4e2－2e1； ④e1＋e2与e1－e2.
其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是________．(写出所有满足条件的序号) 知识点二 用基底表示向量
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例2 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，→→→→→若AB＝a，AD＝b试用a，b表示DC、BC、MN.
回顾归纳 用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来．解决此类题时，首先仔细观察所给图形．借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面向量基本定理解决．
→
变式训练2 如图，已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若AB＝→→→→a，AC＝b，用a，b表示AD，AE，AF.
知识点三 平面向量基本定理的应用
例3 如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求证：AP∶PM＝4∶1.
回顾归纳 (1)充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，注重方程思想的应用；
(2)用基底表示向量也是运用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握．
→→
变式训练3 如图所示，已知△AOB中，点C是以A为中点的点B的对称点，OD＝2DB，
→→
DC和OA交于点E，设OA＝a，OB＝b.
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→→
(1)用a和b表示向量OC、DC；
→→
(2)若OE＝λOA，求实数λ的值．
1．对基底的理解 (1)基底的特征
基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．
(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 2．准确理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．
(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.
课时作业
一、选择题
1．若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )
1
A．e1－e2，e2－e1 B．2e1＋e2，e1＋e2
2
C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2
→→
2．等边△ABC中，AB与BC的夹角是( ) A．30° B．45° C．60° D．120° 3．下面三种说法中，正确的是( )
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
→→→
4．在△ABC中，D，E，F依次是BC的四等分点，以AB＝e1，AC＝e2为基底，则AF等于( )
1331A.e1＋e2 B.e1＋e2 44441111C.e1－e2 D.e1＋e2 4444
→→→→→→
5．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
6．设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，试用m，n表示p的结果是________．
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→→→→→
7．在△ABC中，AB＝c，AC＝b.若点D满足BD＝2DC，则AD＝____________.
三、解答题
→→
8. 如图在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知AM＝c，AN＝d，
→→
试用c，d表示AB，AD.
→1→→1→→→
9. 如图所示，在△OAB中，OC＝OA，OD＝OB，AD与BC交于点M，设OA＝a，OB
42
→
＝b，以a、b为基底表示OM.
§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2．3.1 平面向量基本定理
答案
知识梳理
1．(1)不共线 任意 有且只有一对 λ1e1＋λ2e2 (2)不共线 所有
2．(1)非零向量 ∠AOB ①[0,180°] ②同向 ③反向 (2)90° a⊥b 自主探究
→→→
解 在平面内任取一点O.作OA＝e1，OB＝e2，OC＝a.过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N.
由共线向量定理知，存在实数λ1、λ2使 →→→→→OM＝λ1e1，ON＝λ2e2，由于OC＝OM＋ON， 所以a＝λ1e1＋λ2e2.
下面说明这里的λ1、λ2是唯一的．
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