概率论与数理统计及其应用第二版课后答案浙江大学 2

概率论与数理统计及其应用习题解答

国人，以X表示15个人中无任何健康保险的人数（设各人是否有健康保险相互独立）。问X服从什么分布？写出分布律。并求下列情况下无任何健康保险的概率：（1）恰有3人；（2）至少有2人；（3）不少于1人且不多于3人；（4）多于5人。

解：根据题意，随机变量X服从二项分布B(15, 0.2)，分布律为

kP(X?k)?C15?0.2k?0.815?k,k?0,1,2,?15。

（1）P(X（2）P(X3?3)?C15?0.23?0.812?0.2501,

?2)?1?P(X?1)?P(X?0)?0.8329；

X?3)?P(X?1)?P(X?2)?P(X?3)?0.6129；

（3）P(1?（4）P(X?5)?1?P(X?5)?P(X?4)?P(X?3)?P(X?2)

?P(X?1)?P(X?0)?0.0611

4，设有一由n个元件组成的系统，记为k/n[G]，这一系统的运行方式是当且仅当n个元件中至少有

k(0?k?n)个元件正常工作时，系统正常工作。现有一3/5[G]系统，它由相互独立的元件组成，设

每个元件的可靠性均为0.9，求这一系统的可靠性。

解：对于3/5[G]系统，当至少有3个元件正常工作时，系统正常工作。而系统中正常工作的元件个数服从二项分布B(5, 0.9)，所以系统正常工作的概率为

X?P(X?k)??Ck?3k?355k5?0.9k?0.15?k?0.99144

5，某生产线生产玻璃制品，生产过程中玻璃制品常出现气泡，以至产品成为次品，设次品率为0.001，现取8000件产品，用泊松近似，求其中次品数小于7的概率。（设各产品是否为次品相互独立） 解：根据题意，次品数X服从二项分布B(8000, 0.001)，所以

kP(X?7)?P(X?6)??C80000.001k?0.9998000?kk?06

6(8000?0.001)ke?8000?0.0018ke?8。 ?????0.3134（查表得）

k!k!k?0k?06

6，（1）设一天内到达某港口城市的油船的只数X~?(10)，求P{X（2）已知随机变量X~?(?)，且有P{X解：（1）P{X?15}

?0}?0.5，求P{X?2}。

?15}?1?P{X?15}?1?0.9513?0.0487；

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（2）根据P{X?0}?1?P{X?0}?1?e???0.5，得到??ln2。所以

P{X?2}?1?P{X?0}?P{X?1}?1?0.5??e???(1?ln2)/2?0.1534。

7，一电话公司有5名讯息员，各人在t分钟内收到讯息的次数

X~?(2t)（设各人收到讯息与否相互独

立）。（1）求在一给定的一分钟内第一个讯息员未收到讯息的概率。（2）求在给定的一分钟内5个讯息员恰有4人未收到讯息的概率。（3）写出在一给定的一分钟内，所有5个讯息员收到相同次数的讯息的概率。 解：在给定的一分钟内，任意一个讯息员收到讯息的次数（1）P{XX~?(2)。

?0}?e?2?0.1353；

（2）设在给定的一分钟内5个讯息员中没有收到讯息的讯息员人数用Y表示，则Y~ B(5, 0.1353)，所以

44P{Y?4}?C50.1353?(1?0.1353)?0.00145。

（3）每个人收到的讯息次数相同的概率为

?2ke?2???k!k?0?????32ke?10?5?????k?0??k!??5?? ??

8，一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以X表示铃响至结束讲解的时间。设X的概率密度为

?kx2f(x)???00?x?1其他， （1）确定k；（2）求P{X1?}；3（3）求P{112?X?}；（4）求P{X?}。 423??1解：（1）根据1????f(x)dx??kx2dx?01/332k，得到k?3； 31（2）P{X?}?31?1?3xdx??； ???27?3?01/233117?1??1?2（3）P{?X?}??3xdx???????；

421/42464????219?2?2（4）P{X?}??3xdx?1????327?3?2/39，设随机变量X的概率密度为有实根的概率。 解：方程t213。

?0.003x2f(x)???00?x?10其他，求t的方程t2?2Xt?5X?4?0?2Xt?5X?4?0有实根表明??4X2?4(5X?4)?0，即X2?5X?4?0，

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从而要求

X?4或者X?1。因为

1210P{X?1}??0.003xdx?0.001， P{X?4}??0.003x2dx?0.936

04所以方程有实根的概率为0.001+0.936=0.937.

10，设产品的寿命X（以周计）服从瑞利分布，其概率密度为

?x?x2/200?ef(x)??100?0?（1） 求寿命不到一周的概率； （2） 求寿命超过一年的概率；

x?0其他

（3） 已知它的寿命超过20周，求寿命超过26周的条件概率。

1解：（1）P{X?1}????x?x2/200edx?1?e?1/200?0.004981000；

（2）P{X?52}?x?x2/200edx?e?2704/200?0.000001； ?10052??（3）P{X?26X?20}?P{X?26}?P{X?20}x?x2/200edx?10026x?x2/200edx?10020???e?276/200?0.25158。

11，设实验室的温度X（以

?

C计）为随机变量，其概率密度为

?1?(4?x2)?1?x?2f(x)??9

其他?0?（1） 某种化学反应在温度X >1时才能发生，求在实验室中这种化学反应发生的概率。

（2） 在10个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生时相互独立的，以Y表示10个实

验室中有这种化学反应的实验室的个数，求Y的分布律。

（3） 求P{Y?2}，P{X?2}。

2解：（1）P{X15； ?1}??(4?x2)dx?9271~B(10,5)，所以其分布律为 27（2）根据题意Y 11

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?5??22?k10?kP(Y?k)?Ck10???27?????27??,k?0,1,2,?10

28（3）

P(Y?2)?C2?5??22?10???27?????27???0.2998，

P(Y?2)?1?P(Y?0)?P(Y?1)?0.5778。

12，（1）设随机变量Y的概率密度为

??1?y?0f(y)??0.2?0.2?Cy0?y?1?

?0其他试确定常数C，求分布函数F(y)，并求P{0?Y?0.5}，P{Y?0.5|Y?0.1}。

（2）设随机变量X的概率密度为

?1/80?x?f(x)??2?x/82?x?4?

?0其他求分布函数F(x)，并求P{1?x?3}，P{X?1|X?3}。

??01解：（1）根据1?f(y)dy?.2dy?4?C????0?(0.2?Cy)dy?0.2，得到C?1.2。?10??y0y??1?y???0.2dy1?1?y?0F(y)???f(y)dy???0y???0.2dy??(0.2?1.2y)dy ??100?y?1?01?0.2dy????1?(0.2?1.2y)dy0y?1??0y??1???0.2(y?1)?1?y?0?0.6y2?0.2y?0.20?y?1 ??1y?1P{0?Y?0.5}?P{Y?0.5}?P{Y?0}?F(0.5)?F(0)?0.45?0.2?0.25； 12