高等数学 课后习题答案第九章

精品文档

习题九

1. 求函数u=xy+z-xyz在点（1，1,2）处沿方向角为

??,??,??π3π4π3的方向导数。

23

解：

?u?u?u?u?cos??cos??cos??y(1,1,2)?l?x(1,1,2)?z(1,1,2)

?(y2?yz)(1,1,2)cos2. 求函数u=xyz在点（5,1,2）处沿从点A（5,1,2）到B（9，4，14）的方向导数。 解：AB?{4,3,12}, AB?13.

AB的方向余弦为

πππ?(2xy?xz)(1,1,2)cos?(3z2?xy)(1,1,2)cos?5.343

4312, cos??, cos??131313 ?u(5,1,2)?yz(5,1,2)?2?x?u(5,1,2)?xz(5,1,2)?10?y?u(5,1,2)?xy(5,1,2)?5?z

?u431298?2??10??5??.13131313 故?lcos??AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

精品文档

22?ab??x2y2?xy,z?1??2?2??2?1??222ab????ab3. 求函数在点处沿曲线在这点

的内法线方向的方向导数。

解：设x轴正向到椭圆内法线方向l的转角为φ，它是第三象限的角，因为

2xa2?2yb2y??0, y???b2xa2y

?a所以在点

??2,b?2??处切线斜率为 b2?ay???ab??2??b?2,?2??a2?ba.2a

法线斜率为

cos??b.

于是

tan???b, sin???aa2?b2a2?b2 ?z∵?x??2?z2a2x, ?y??b2y,AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

精品文档

?z∴?lb2a?????a22?a2?b2a?2b?????2?2?a2?b2?b?12(a2?b2).???ab

?ab?,???22???4.研究下列函数的极值： (1)z=x+y－3(x+y); (3)z=(6x－x)(4y－y); (5)z=xy(a－x－y),a≠0.

2??zx?3x?6x?0?2z?3y?6y?0?y解：（1）解方程组?

3322

(2)z=e(x+y+2y); (4)z=(x+y2

2

?(x)e22x2

22?y2);

得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2).

zxx=6x－6, zxy=0, zyy=6y－6

在点（0，0）处，A=－6，B=0，C=-6，B－AC=－36<0，且

2

A<0,所以函数有极大值z(0,0)=0.

在点（0，2）处，A=－6，B=0，C=6，B－AC=36>0，所以(0,2)点不是极值点.

在点（2，0）处，A=6，B=0，C=－6，B－AC=36>0，所以(2,0)

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

22

精品文档

点不是极值点.

在点（2，2）处，A=6，B=0，C=6，B－AC=－36<0，且A>0,所以函数有极小值z(2,2)=-8.

2x2??zx?e(2x?2y?4y?1)?0?2xz?2e(y?1)?0?y(2)解方程组?

2

?1??,?1?得驻点为?2?.

zxx?4e2x(x?y2?2y?1)zxy?4e2x(y?1)zyy?2e2x

?1??,?1?22

在点?2?处,A=2e,B=0,C=2e,B-AC=-4e<0,又

A>0,所以函

1???ez?,?1??数有极小值?2?2.

2??zx?(6?2x)(4y?y)?0?2z?(6x?x)(4?2y)?0?y(3) 解方程组?

得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4).

Zxx=－2(4y-y),

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

2

精品文档

Zxy=4(3－x)(2－y) Zyy=－2(6x－x2)

2

在点（3，2）处，A=－8，B=0，C=－18，B－AC=－8×18<0,且A<0，所以函数有极大值z(3,2)=36.

在点（0，0）处，A=0，B=24，C=0，B2

－AC>0，所以点不是极值点.

在点（0，4）处，A=0，B=-24，C=0，B2

－AC>0，所以不是极值点.

在点（6，0）处，A=0，B=-24，C=0，B2

－AC>0，所以不是极值点.

在点（6，4）处，A=0，B=24，C=0，B2

－AC>0，所以不是极值点.

???(x2?y2)?2xe(1?x2?y2)?0(4)解方程组

??2ye?(x2?y2)(1?x2?y2)?0 AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

(0,0)(0,4)(6,0)(6,4)