2019年
因为a2,a3,a6成等比数列,所以a2a6=a, 即(a1+d)(a1+5d)=(a1+2d)2. 又a1=1,所以d2+2d=0. 又d≠0,则d=-2,
所以{an}前6项的和S6=6×1+×(-2)=-24.
2.(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=( )
A.100 C.98
B.99 D.97
解析:选C 法一:∵{an}是等差数列,设其公差为d, ∴S9=(a1+a9)=9a5=27,∴a5=3.
??a1=-1,
又∵a10=8,∴∴?
?d=1.?
∴a100=a1+99d=-1+99×1=98. 法二:∵{an}是等差数列,
∴S9=(a1+a9)=9a5=27,∴a5=3.
在等差数列{an}中,a5,a10,a15,…,a100成等差数列,且公差d′=a10-a5=8-3=5.
故a100=a5+(20-1)×5=98.
3.(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.
(1)证明:an+2-an=λ;
(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由. 解:(1)证明:由题设,anan+1=λSn-1,
an+1an+2=λSn+1-1.
两式相减得an+1(an+2-an)=λan+1. 由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.
(2)由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.
2019年
由(1)知,a3=λ+1.
令2a2=a1+a3,解得λ=4.
故an+2-an=4,由此可得{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.
所以an=2n-1,an+1-an=2.
因此存在λ=4,使得数列{an}为等差数列.
4.(2013·全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.
解:(1)设{an}的公差为d.由题意,a=a1a13, 即(a1+10d)2=a1(a1+12d), 于是d(2a1+25d)=0.
又a1=25,所以d=0(舍去),或d=-2. 故an=-2n+27.
(2)令Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2.
由(1)知a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为25,公差为-6的等差数列. 从而Sn=(a1+a3n-2)=(-6n+56)=-3n2+28n. 一、选择题
1.(2018·厦门一中测试)已知数列{an}中,a2=,a5=,且是等差数列,则a7=( )
A. B.10 C.
D.12 1311
解析:选D 设等差数列的公差为d,则=+3d,即=+3d,解得d=2,所以=+5d=12,解得a7=.
2.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一
2019年
尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金箠,长五尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤,在细的一端截下1尺,重2斤,问依次每一尺各重多少斤?”根据上题的已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,问第二尺与第四尺的重量之和为( )
A.6斤 C.9.5斤
B.9斤 D.12斤
解析:选A 依题意,金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列, 设首项a1=4,则a5=2.
由等差数列的性质得a2+a4=a1+a5=6, 所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤.
3.(2018·银川一中月考)在等差数列{an}中,首项a1>0,公差d≠0,前n项和为Sn(n∈N*),有下列命题:
①若S3=S11,则必有S14=0;
②若S3=S11,则必有S7是Sn中的最大项; ③若S7>S8,则必有S8>S9; ④若S7>S8,则必有S6>S9. 其中正确命题的个数是( ) A.1 C.3
B.2 D.4
解析:选D 对于①,若S11-S3=4(a1+a14)=0,即a1+a14=0,则S14==0,所以①正确;
对于②,当S3=S11时,易知a7+a8=0,又a1>0,d≠0,所以a7>0>a8,故S7是Sn中的最大项,所以②正确;
对于③,若S7>S8,则a8<0,那么d<0,可知a9<0,此时S9-S8<0,即S8>S9,所以③正确;
对于④,若S7>S8,则a8<0,S9-S6=a7+a8+a9=3a8<0,即S6>S9,所以④正确.故选D.
2019年
4.(2018·大同模拟)在等差数列中,a1+a2+a3=3,a18+a19+a20=87,则此数列前20项的和等于( )
A.290 C.580
B.300 D.600
解析:选B 由a1+a2+a3=3a2=3,得a2=1. 由a18+a19+a20=3a19=87,得a19=29, 所以S20==10(a2+a19)=300.
5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S9=18,an-4=30(n>9),若Sn=336,则n的值为( )
A.18 C.20
B.19 D.21
解析:选D 因为{an}是等差数列,所以S9=9a5=18,a5=2,Sn===×32=16n=336,解得n=21.
6.设{an}是等差数列,d是其公差,Sn是其前n项和,且S5
A.d<0 B.a7=0 C.S9>S5
D.当n=6或n=7时Sn取得最大值
解析:选C 由S5
7.等差数列{an}的前n项和为Sn,若公差d>0,(S8-S5)(S9-S5)<0,则( ) A.|a7|>|a8| C.|a7|=|a8|
B.|a7|<|a8| D.|a7|=0
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