2020高考数学一轮复习第八单元数列学案文

2019年

因为a2，a3，a6成等比数列，所以a2a6＝a， 即(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2. 又a1＝1，所以d2＋2d＝0. 又d≠0，则d＝－2，

所以{an}前6项的和S6＝6×1＋×(－2)＝－24.

2．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝( )

A．100 C．98

B．99 D．97

解析：选C 法一：∵{an}是等差数列，设其公差为d， ∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.

??a1＝－1，

又∵a10＝8，∴∴?

?d＝1.?

∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98. 法二：∵{an}是等差数列，

∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.

在等差数列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差数列，且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5.

故a100＝a5＋(20－1)×5＝98.

3．(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．

(1)证明：an＋2－an＝λ；

(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由． 解：(1)证明：由题设，anan＋1＝λSn－1，

an＋1an＋2＝λSn＋1－1.

两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1. 由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.

(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.

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由(1)知，a3＝λ＋1.

令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.

故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.

所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.

因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．

4．(2013·全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．

(1)求{an}的通项公式；

(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.

解：(1)设{an}的公差为d.由题意，a＝a1a13， 即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)， 于是d(2a1＋25d)＝0.

又a1＝25，所以d＝0(舍去)，或d＝－2. 故an＝－2n＋27.

(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.

由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列． 从而Sn＝(a1＋a3n－2)＝(－6n＋56)＝－3n2＋28n. 一、选择题

1．(2018·厦门一中测试)已知数列{an}中，a2＝，a5＝，且是等差数列，则a7＝( )

A. B.10 C.

D.12 1311

解析：选D 设等差数列的公差为d，则＝＋3d，即＝＋3d，解得d＝2，所以＝＋5d＝12，解得a7＝.

2．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一

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尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( )

A．6斤 C．9.5斤

B．9斤 D．12斤

解析：选A 依题意，金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列， 设首项a1＝4，则a5＝2.

由等差数列的性质得a2＋a4＝a1＋a5＝6， 所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．

3．(2018·银川一中月考)在等差数列{an}中，首项a1>0，公差d≠0，前n项和为Sn(n∈N*)，有下列命题：

①若S3＝S11，则必有S14＝0；

②若S3＝S11，则必有S7是Sn中的最大项； ③若S7>S8，则必有S8>S9； ④若S7>S8，则必有S6>S9. 其中正确命题的个数是( ) A．1 C．3

B．2 D．4

解析：选D 对于①，若S11－S3＝4(a1＋a14)＝0，即a1＋a14＝0，则S14＝＝0，所以①正确；

对于②，当S3＝S11时，易知a7＋a8＝0，又a1>0，d≠0，所以a7>0>a8，故S7是Sn中的最大项，所以②正确；

对于③，若S7>S8，则a8<0，那么d<0，可知a9<0，此时S9－S8<0，即S8>S9，所以③正确；

对于④，若S7>S8，则a8<0，S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8<0，即S6>S9，所以④正确．故选D.

2019年

4．(2018·大同模拟)在等差数列中，a1＋a2＋a3＝3，a18＋a19＋a20＝87，则此数列前20项的和等于( )

A．290 C．580

B．300 D．600

解析：选B 由a1＋a2＋a3＝3a2＝3，得a2＝1. 由a18＋a19＋a20＝3a19＝87，得a19＝29， 所以S20＝＝10(a2＋a19)＝300.

5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S9＝18，an－4＝30(n>9)，若Sn＝336，则n的值为( )

A．18 C．20

B．19 D．21

解析：选D 因为{an}是等差数列，所以S9＝9a5＝18，a5＝2，Sn＝＝＝×32＝16n＝336，解得n＝21.

6．设{an}是等差数列，d是其公差，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列结论错误的是( )

A．d<0 B．a7＝0 C．S9>S5

D．当n＝6或n＝7时Sn取得最大值

解析：选C 由S50.同理由S7>S8，得a8<0.又S6＝S7，∴a1＋a2＋…＋a6＝a1＋a2＋…＋a6＋a7，∴a7＝0，∴B正确；∵d＝a7－a6<0，∴A正确；而C选项，S9>S5，即a6＋a7＋a8＋a9>0，可得2(a7＋a8)>0，由结论a7＝0，a8<0，知C选项错误；∵S5S8，∴结合等差数列前n项和的函数特性可知D正确．故选C.

7．等差数列{an}的前n项和为Sn，若公差d>0，(S8－S5)(S9－S5)<0，则( ) A．|a7|>|a8| C．|a7|＝|a8|

B．|a7|<|a8| D．|a7|＝0