2019-2020中考数学系统复习第六单元圆滚动小专题(九)与圆有关的计算与证明练习

解：(1)连接OD. ∵FD∥OB，OA⊥OB，∴OA⊥FD. ∵C为OA的中点， ∴OC＝OA＝OD. ∴在Rt△OCD中，∠ODC＝30°. ∴OC＝CD·tan30°＝1. ∴OD＝2OC＝2，即⊙O的半径OA的长为2. (2)S阴影＝S扇形BOD＋S△OCD－S扇形COE ＝＋×1×－＝＋. 90×π×12 3604．如图，风车的支杆OE垂直于桌面MN，风车中心O到桌面的距离OE为25 cm，小风车在风吹动下绕着中心O不停地转动，转动过程中，叶片端点A，B，C，D在同一圆O上，已知⊙O的半径为10 cm. (1)风车在转动过程中，当∠AOE＝45°时，求点A到桌面的距离(结果保留根号)； (2)在风车转动一周的过程中，求点A相对于桌面的高度不超过20 cm所经过的路径长(结果保留π)． 5 / 8 备用图1 备用图2 解：(1)如图1，当点A运动到点A1的位置时，∠AOE＝45°. 作A1F⊥MN于点F，A1G⊥OE于点G， ∴A1F＝GE. 在Rt△A1OG中，∵∠A1OG＝45°，OA1＝10， ∴OG＝OA1·cos45°＝10×＝5. ∵OE＝25，∴GE＝OE－OG＝25－5. ∴A1F＝GE＝25－5. 答：点A到桌面的距离是(25－5)cm. (2)如图2，点A在旋转过程中运动到点A2，A3的位置时，点A到桌面的距离等于20 cm. 作A2H⊥MN于点H，则A2H＝20. 作A2D⊥OE于点D，∴DE＝A2H. ∵OE＝25，∴OD＝OE－DE＝25－20＝5. 在Rt△A2OD中，∵OA2＝10， ∴cos∠A2OD＝＝. ∴∠A2OD＝60°. 由圆的轴对称性可知，∠A3OA2＝2∠A2OD＝120°. ∴点A所经过的路径长为＝π. 6 / 8 答：点A所经过的路径长为π cm. 图1 图2 5．如图，有一直径MN＝4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半圆P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半圆P与数轴相切于点A. 解答下列问题： (1)位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2；位置Ⅱ中的半圆P与数轴的位置关系是相切； (2)求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数； (3)纸片半圆P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点N所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积； (4)求OA的长． [(2)(3)(4)中的结果保留π] 7 / 8 解：(2)位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等， ∵的长为＝π，NP＝2， ∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π＋2. (3)点N所经过路径长为＝2π， S半圆＝＝2π，S扇形＝＝4π. ∴半圆P所扫过图形的面积为2π＋4π＝6π. (4)作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接PA，则四边形PHCA为矩形． 在Rt△NPH中，PN＝2，NH＝NC－HC＝NC－PA＝1. ∵sin∠NPH＝＝，∴∠NPH＝30°. ∴∠MPA＝60°. ∴的长为＝π. ∴OA＝π＋4＋π＝π＋4. 8 / 8