高等数学》期末考试试卷高等数学竞赛试题
一．选择1．函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处连续是它在该点偏导数存在的：A、必要而非充分条件；B、充分而非必要条件；C、充分必要条件；D、既非充分又非必要条件。2．设u?arctanyx，则?u?x=A、?
y
x?xx2?y2B、x2?y2C、yx2?y2D、x2?y2??3．曲线弧AB上的曲线积分和BA上的曲线积分有关系：A、?AB
f(x,y)ds???BAf(x,y)dsB、?AB
f(x,y)ds??BAf(x,y)dsC、?
ABf(x,y)ds??BAf(x,y)ds?0
D、?
AB
f(x,y)ds??BAf(?x,?y)ds?0
4．设I1???[ln(x?y)]7dxdy,I2???(x?y)7dxdy,I3???sin7(x?y)dxdy
其中DD
D
D
x=0,y=0,x?y?
1
2
,x+y=1所围成的区域，则I1，I2，I3的大小顺序是A、I1＜I2＜I3;B、I3＜I2＜I1;C、I1＜I3＜I2;D、I3＜I1＜I2.答案：1.D2.A3.B4.C二、填空题5．设u?xy?
yx，则?u?y=__________。6．函数f(x,y)?e?xsin(x?2y)在点(0，?
4
)处沿y轴负向的方向导数是__________。7．设C表示椭圆x2y22a2?b
2?1，其方向为逆时针方向，则曲线积分?L(x?y)dx?_________。8．设I?
???(3y2
siny3?z2
tanx?3)dv，则I=________________。xy?1z?1
1?答案:5.x?1x6.07.08.24三、计算9．求极限lim
xyexx?0y?04?16?xy。xyex解：lim
xyex(4?16?xy)x?0y?04?16?xy?lim
x?0y?0?xy=－8是由高等数学》期末考试试卷?2z
10．函数z?z(x,y)由方程sin(xz)?3x?z?1?lny所确定，求2?x解：当x?0,y?1时,z??1
x?0y?1。(z?x?zx)cos(x?z)?3?zx?0；2?z?xx?0y?1?2?2z?x2?4
?(z?xzx)sin(xz)?(2zx?xzxx)cos(xz)?zxx?0；32x?0y?111．求函数z?x?y?xy?x的极大值点或极小值点。2zxxzxy?6x?1?zx?3x?y?1?0?21??11?
解：由?，得驻点?,?,??,??D???12x?1
????zyxzyy?123324??zy?2y?x?0
?21??1?21?1?
D?,??7?0,D??,????7?0zxx?,??4?0
4??33??2?33?
?11??21?
,??非极值点。函数z无极大值点，在点?,?处取极小值。?24??33?
2212．设闭区域D:x?y?y,x?0.f(x,y)为D上的连续函数，且8
f(x,y)?1?x2?y2???f(u,v)dudv,
点??
?D求f(x,y)解设??
Df(u,v)dudv?A，在已知等式两边求区域D上的二重积分，有1?x2?y2dxdy?
8A
??
Df(x,y)dxdy???
D???
Ddxdy,
从而A?
??
D1?x2?y2dxdy?A.
?20sin?21??2?1
1?r?rdr??2(1?cos3?)d?????.所以2A??d??03?23?301??2?4??2?
故A????.于是f(x,y)?1?x2?y2????.
6?23?3??23?
12
13．计算二重积分??xdxdy，其中D是由抛物线y?x及直线y=x+4所围成的区域。2D
4x?44132
解：原式??xdx?12dy??(x?4x?x)dx?18
?2x?22214．计算I=1
????
?10
2yzdv,其中Ω是由x+z=1,y=0,y=1所围的位于z≥0部分的立体。1?x222
解．I?2dxdy??
010
?0
2yzdz 2
1
?2?dx?y(1?x)??(1?x2)dx?
0
0
2
2
1
2
3
15．已知L是由x?y?1,0?y?x所确定的平面域的边界线，求?Lcosx2?y2ds。高等数学》期末考试试卷解：??
L
cos
x?yds?
2222?
1
0
cosxdx?
?
??0
cos1dt?
?
220
cos(2x)?2dx
?sin1??cos1?sin(2x)40?2sin1??cos1416．计算曲线积分?Lxsin(x2?y2)dx?ycos(x2?y2)dy，式中L是正向圆周x2?y2?
?2
??x?cost??2解：?
?y??sint?2?
0?t?2?四、证明题2???????x?sindx?y?cosdy?costd(cost)?L?02222?1???cos2t20?022
17．试证曲面xyz?a的切平面与三个坐标面所围四面体的体积为常数。证明：曲面上点?x0,y0,z0?处的切平面法向量3n??y0z0,z0x0,x0y0?切平面方程为y0z0(x?x0)?z0x0(y?y0)?x0y0(z?z0)?0xyz即???1
3x03y03z0切平面与三个坐标平面所围四面体的体积V?
19
3x0?3y0?3z0?a3为常数62
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