第三节 三角函数的图象与性质
三角函数的图象及性质
能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．
理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质
(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在
?ππ?
区间?－2，2?内的单调性．
?
?
知识点 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象 和性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图 象 ??π?x?x≠2?? 定义域 R R ＋kπ，k∈Z } 值域 [－1,1] π??2kπ－，递增区间：2?[－1,1] R 递增区间： π??kπ－，2?单调性 递增区间： [2kπ－π，2kπ] (k∈Z) 递减区间： π?2kπ＋2?(k∈Z) ?
π??递减区间：2kπ＋2，? [2kπ，2kπ＋π] (k∈Z) π?kπ＋2?(k∈Z) ? 最 值 3π?2kπ＋2?(k∈Z) ?x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1 偶函数 对称中心?kπ??，0?，k∈Z ?2?πx＝2kπ＋2(k∈Z)时，ymax＝1； πx＝2kπ－2(k∈Z)时，ymin＝－1 奇偶性 奇函数 无最值 奇函数 对称中心π???kπ＋，0?，k2??∈Z 无对称轴 对称中心(kπ，0)，k∈Z 对称性 πx＝kπ，对称轴l：x＝kπ＋2，k对称轴l：k∈Z ∈Z 周期性 易误提醒
2π 2π π π
1．正切函数的图象是由直线x＝kπ＋2(k∈Z)隔开的无穷多支曲π?π?
?线组成，单调增区间是－2＋kπ，2＋kπ?，k∈Z不能说它在整个定义??π3ππ3π
域内是增函数，如4<4，但是tan 4>tan 4，正切函数不存在减区间．
2．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结． 3．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视
“k∈Z”这一条件．
必记结论 函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数，π
当φ＝kπ＋2(k∈Z)时是偶函数；函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时是偶函数，当φ＝kπ＋π
2(k∈Z)时是奇函数．
[自测练习]
1．函数y＝tan 3x的定义域为( )
A.???x???x≠3π
3kπ，k∈Z
?2＋?? B.???π
??x??x≠6＋kπ，k∈Z?? C.???x???x≠－π
＋kπ，k∈Z
?6?? D.???x???x≠πkπ
?6＋3，k∈Z??
解析：由3x≠ππkπ
2＋kπ，得x≠6＋3，k∈Z. 答案：D
2．设函数f(x)＝sin?
??
2x－π?2??
，x∈R，则f(x)是( A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为π
2的奇函数 D．最小正周期为π
2的偶函数 解析：∵f(x)＝sin?
?π??
2x－2??
＝－cos 2x，
∴f(x)是最小正周期为π的偶函数．
)
答案：B
π??
3．已知函数f(x)＝sin?ωx＋3?(ω>0)的最小正周期为π，则该函数
??的图象( )
?π?π
A．关于直线x＝3对称 B．关于点?3，0?对称
?
?
?π?π
C．关于直线x＝－6对称 D．关于点?6，0?对称
?
?
π??
解析：∵f(x)＝sin?ωx＋3?(ω>0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即
?
?
π??
f(x)＝sin?2x＋3?.
??
?π??2ππ?
经验证可知f?3?＝sin?3＋3?＝sin π＝0，
?????π?
即?3，0?是函数f(x)的一个对称点． ??
答案：B
π??
4．函数y＝3－2cos?x＋4?的最大值为________，此时x＝
??________.
π??π
解析：函数y＝3－2cos?x＋4?的最大值为3＋2＝5，此时x＋4＝π
??3π
＋2kπ，即x＝4＋2kπ(k∈Z)．
3π
答案：5 4＋2kπ(k∈Z)
考点一 三角函数的定义域、值域|
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