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分类讨论思想

来源:用户分享 时间:2025/9/24 21:02:52 本文由loading 分享 下载这篇文档手机版
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分类讨论思想

湖南 陈拥军

数学中的分类讨论贯穿教材的各个部分,它不仅形式多样,而且具有很强的综合性和逻辑性,在高考中占有相当的比重,约占总分值的20%,分布在各种题型中,易、中、难的考查程度均全,特别青睐技巧,能力型题,是区分学生能力高低的“杠杆”;很多同学陷在“没有思路,无从下手,不知所措”;“有点思路,满头迷雾,困难重重”;“应该如此,缺少条件,硬撑下去——难成正果”;“如此这般,理所当然,坚持运算——会而不对”;“看到字母就讨论,正、负、零不放过,辛苦板书一大块——最后卡壳,对而不全”;“抓住了分类元,理清了分类标准,结果如何整合——并集还是交集”?;分类讨论虽有如此“神威”,多处布设思维“陷阱”,其实也并非“高不可攀”,下面详叙。

一、为何分类讨论

分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题,通过基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.当解题思路出现混乱、模糊、何去何从时,揪住某个“”,通过增设某个条件,从而出现两条或两条以上分支,每条支路又不重叠,且每条支路均可到达目的地时,就必须分类讨论。

二、分类讨论的常见情形

(1)由数学概念引起的分类讨论:主要是指有的概念本身是分类的,在不

同条件下有不同结论,则必须进行分类讨论求解,如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.

(2)由性质、定理、公式引起的分类讨论:有的数学定理、公式、性质是

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分类给出的,在不同条件下结论不一致,如二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),由a的正负而导致开口方向不确定,等比数列前n项和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等.

(3)由某些数学式子变形引起的分类讨论:有的数学式子本身是分类给出的,如ax2+bx+c>0,a=0,a<0,a>0解法是不同的.

(4)由图形引起的分类讨论:有的图形的类型、位置也要分类,如角的终边所在象限,点、线、面的位置关系等.

(5)由实际意义引起的讨论:此类问题在应用题中常见.

(6)由参数变化引起的讨论:所解问题含有参数时,必须对参数的不同取值进行分类讨论;含有参数的数学问题中,参变量的不同取值,使得变形受限导致不同的结果.

二、在哪些题型需要分类讨论 分类讨论的常见类型:

(1)由数学概念引起的分类讨论:有的概念本身就是分类的,如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.

(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论:有定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致,如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等.

(3)由数学运算引起的分类讨论:如除法运算中除数不为零,偶次方根为非负,对数真数与底数的要求,指数运算中底数的要求,不等式两边同乘以一个正数、负数,三角函数的定义域等.

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(4)由图形的不确定性引起的分类讨论:有的图形类型、位置需要分类,如角的终边所在的象限,点、线、面的位置关系等.

(5)由参数的变化引起的分类讨论:某些含有参数的问题,如含参数的方程、不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不同,或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.

三、如何进行分类讨论

设,将大问题对问题实行分类与整合,分类标准等于增加一个已知条件,实现了有效增(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题),优化解题思路,降低问题难度,分类必须从同一标准出发,做到不重复,不遗漏 ,包含各种情况,同时

要有利于问题研究;

5.讨论的基本步骤:(1)明确讨论的

对象:即对哪个参数进行讨论;(2)对所讨论的对象进行合理分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级);(3)逐类讨论:即对各类问题详细讨论,逐步解决。(4)归纳总结:将各类情况总结归纳;

要点考向1:根据数学概念的要求分类讨论(概念型)

例1:设00且a≠1,比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小。

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注:本例是由对数函数的概念内涵引发的分类讨论,我们称为概念分类型.由概念内涵分类的还有很多,如绝对值:|a|的定义分为a>0、a<0、a=0三种情况;直线的斜率分为:倾斜角不存在;指数、对数函数:

,斜率k存在,倾斜角

,斜率,可分为

两种类型;直线的截距式分:直线过原点时为y=kx,不过原点时为等.

要点考向2:根据运算的要求或性质、定理、公式的条件分类讨论 例2:设等比数列{a n}的公比为q ,前n项和S n>0(n =1 , 2 , 3 ,?). (1)求q的取值范围;

(2)设b n= a n+2 -a n+1 ,记{b n}的前n项和为T n ,试比较S n与T n的大小 .

思路精析:要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形;再应用比较法而求解。其中在应用等比数列前n项和的公式时,由于公式的要求,分q=1和q≠1两种情况

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