分类讨论思想
湖南 陈拥军
数学中的分类讨论贯穿教材的各个部分，它不仅形式多样，而且具有很强的综合性和逻辑性，在高考中占有相当的比重，约占总分值的20%，分布在各种题型中，易、中、难的考查程度均全，特别青睐技巧，能力型题，是区分学生能力高低的“杠杆”；很多同学陷在“没有思路，无从下手，不知所措”；“有点思路，满头迷雾，困难重重”；“应该如此，缺少条件，硬撑下去——难成正果”；“如此这般，理所当然，坚持运算——会而不对”；“看到字母就讨论，正、负、零不放过，辛苦板书一大块——最后卡壳，对而不全”；“抓住了分类元，理清了分类标准，结果如何整合——并集还是交集”?；分类讨论虽有如此“神威”，多处布设思维“陷阱”，其实也并非“高不可攀”，下面详叙。
一、为何分类讨论
分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解（或分割）成若干个基础性问题，通过基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．当解题思路出现混乱、模糊、何去何从时，揪住某个“”，通过增设某个条件，从而出现两条或两条以上分支，每条支路又不重叠，且每条支路均可到达目的地时，就必须分类讨论。
二、分类讨论的常见情形
（1）由数学概念引起的分类讨论：主要是指有的概念本身是分类的，在不
同条件下有不同结论，则必须进行分类讨论求解，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.
（2）由性质、定理、公式引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是
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分类给出的，在不同条件下结论不一致，如二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，由a的正负而导致开口方向不确定，等比数列前n项和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等.
（3）由某些数学式子变形引起的分类讨论：有的数学式子本身是分类给出的，如ax2+bx+c＞0，a=0，a＜0，a＞0解法是不同的.
（4）由图形引起的分类讨论：有的图形的类型、位置也要分类，如角的终边所在象限，点、线、面的位置关系等.
（5）由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中常见.
（6）由参数变化引起的讨论：所解问题含有参数时，必须对参数的不同取值进行分类讨论；含有参数的数学问题中，参变量的不同取值，使得变形受限导致不同的结果.
二、在哪些题型需要分类讨论 分类讨论的常见类型：
（1）由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身就是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．
（2）由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．
（3）由数学运算引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．
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（4）由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等．
（5）由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．
三、如何进行分类讨论
设，将大问题对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增（或综合性问题）分解为小问题（或基础性问题），优化解题思路，降低问题难度，分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏 ，包含各种情况，同时
要有利于问题研究；
5．讨论的基本步骤：(1)明确讨论的
对象：即对哪个参数进行讨论；(2)对所讨论的对象进行合理分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级)；(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决。(4)归纳总结：将各类情况总结归纳；
要点考向1：根据数学概念的要求分类讨论（概念型）
例1：设0
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注：本例是由对数函数的概念内涵引发的分类讨论，我们称为概念分类型．由概念内涵分类的还有很多，如绝对值：|a|的定义分为a＞0、a＜0、a=0三种情况；直线的斜率分为：倾斜角不存在；指数、对数函数：
，斜率k存在，倾斜角
与
，斜率，可分为
两种类型；直线的截距式分：直线过原点时为y=kx，不过原点时为等．
要点考向2：根据运算的要求或性质、定理、公式的条件分类讨论 例2：设等比数列{a n}的公比为q ，前n项和S n＞0（n =1 , 2 , 3 ,?）. （1）求q的取值范围；
（2）设b n= a n+2 -a n+1 ,记{b n}的前n项和为T n ，试比较S n与T n的大小 .
思路精析：要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。其中在应用等比数列前n项和的公式时，由于公式的要求，分q＝1和q≠1两种情况
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