P(A2)＝C23P(A3)＝C24
?2??1－2?×2＝8，
?3??3?327?2??1－2?×1＝4. ?3??3?227
2
2
2
884
所以，甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率分别是，，.
272727
(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，由题意知各局比赛结果相互独立，所以 P(A4)＝C24
?1－2??2?×?1－1?＝4.
?3??3??2?27
22
由题意知随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，根据事件的互斥性得 16
P(X＝0)＝P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝，
274
P(X＝1)＝P(A3)＝，
274
P(X＝2)＝P(A4)＝，
27
3
P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝.
27故X的分布列为
X P 0 16 271 4 272 4 273 3 27164437
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 272727279[对点训练]
3．小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．
(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X的分布列、均值及方差．
解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C28＝28种，当X＝0时，两向量
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82
夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X＝0)＝＝.
287
(2)两向量数量积X的所有可能取值为－2，－1，0，1.X＝－2时，有2种情形；X＝1时，有8种情形；X＝－1时，有10种情形．
所以X的分布列为
X P －2 1 14－1 5 140 2 71 2 715223
E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＝－.
14147714
33331522
－2＋?×＋?－1＋?×＋??×＋?1＋?×≈0.88. D(X)＝?14?14?14?14?14?7?14?7?
考点四 二项分布 2
2
2
2
在n次独立重复试验中，事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，
knk
那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Ck，k＝0，np(1－p)
－
1，2，?，n.这时称X服从二项分布，记为X～B(n，p)．当X～B(n，p)时，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
[典例4] 某单位选派甲、乙、丙三人组队参加知识竞赛，甲、乙、丙三人在同时回答一31
道问题时，已知甲答对的概率是，甲、丙两人都答错的概率是，乙、丙两人都答对的概率4121
是，规定每队只要有一人答对此题则该队答对此题． 4
(1)求该单位代表队答对此题的概率；
(2)此次竞赛规定每队都要回答10道必答题，每道题答对得20分，答错得－10分．若该单位代表队答对每道题的概率相等且回答任一道题的对错对回答其他题没有影响，求该单位代表队必答题得分的均值(精确到1分)．
3
[解] (1)记甲、乙、丙分别答对此题为事件A，B，C，由已知，得P(A)＝，[1－P(A)][1
41
－P(C)]＝，
12
2
∴P(C)＝.
3
13
又P(B)P(C)＝，∴P(B)＝.
48∴该单位代表队答对此题的概率
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332911－?×?1－?×?1－?＝. P＝1－??4??8??3?96
91
10，?， (2)记X为该单位代表队必答题答对的道数，Y为必答题的得分，则X～B?96??91455
∴E(X)＝10×＝.
9648
而Y＝20X－10×(10－X)＝30X－100， 1 475
∴E(Y)＝30E(X)－100＝≈184.
8[对点训练]
4．某运动员投篮命中率为p＝0.6. (1)求投篮1次时命中次数X的均值； (2)求重复5次投篮时，命中次数Y的均值． 解：(1)投篮1次，命中次数X的分布列如表：
X P 则E(X)＝p＝0.6.
(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布， 即Y～B(5，0.6)．则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.
考点五 正态分布 0 0.4 1 0.6 对于正态分布问题，在新课程标准中的要求不是很高，只要求同学们了解正态分布中的最基础的知识．但由于正态分布中体现了数形结合的重要思想，一些结合图象解决某一区间内的概率问题又成为热点问题，这就需要同学们熟练掌握正态分布的形式，记住正态总体在三个区间内取值的概率，运用对称性结合图象求相应的概率．
[典例5] 在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80，52)，现已知该班同学中成绩在80～85分的有17人．试计算该班同学中成绩在90分以上的有多少人？
[解] ∵成绩服从正态分布N(80，52)， ∴μ＝80，σ＝5，μ－σ＝75，μ＋σ＝85. 于是成绩在(75，85]内的同学占全班同学的68.26%. 这样成绩在(80，85]内的同学占全班同学的34.13%. 设该班有x名同学，则x×34.13%＝17.解得x≈50.
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又μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90， ∴成绩在(70，90]内的同学占全班同学的95.44%. ∴成绩在(80，90]内的同学占全班同学的47.72%. ∴成绩在90分以上的同学占全班同学的2.28%. 即有50×2.28%≈1(人)． 即成绩在90分以上的仅有1人． [对点训练]
5．某市去年高考考生成绩服从正态分布N(500，502)，现有25 000名考生，试确定考生成绩在550～600分的人数．
解：因为考生成绩X～N(500，502)， 所以μ＝500，σ＝50，
11
所以P＝(550 22(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. 故考生成绩在550～600分的人数为25 000×0.135 9≈3 398人． (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设离散型随机变量ξ的概率分布列如下： ξ P 0 1 51 1 52 1 103 p 则p的值为( ) 1111A. B. C. D. 2634 1111 解析：选A 因为＋＋＋p＝1，所以p＝，故选A. 55102 22 2．正态分布N1(μ1，σ21)，N2(μ2，σ2)，N3(μ3，σ3)(其中σ1，σ2，σ3均大于0)所对应 的密度函数图象如图所示，则下列说法正确的是( ) 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn
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