第7讲 抛物线
[基础题组练]
1．抛物线y＝ax(a<0)的准线方程是( ) 1
A．y＝－
2a1
C．y＝ 2a1
B．y＝－
4a1
D．y＝
4a2
1122
解析：选B.抛物线y＝ax(a<0)可化为x＝y，准线方程为y＝－.故选B.
a4a2．已知点M是抛物线C：y＝2px(p>0)上一点，F为C的焦点，MF的中点坐标是(2，2)，则p的值为( )
A．1 C．3
B．2 D．4
2
?p??p??p?2
解析：选D.由题意得F?，0?，那么M?4－，4?在抛物线上，即16＝2p?4－?，即p?2??2??2?
－8p＋16＝0，解得p＝4.
3．(2019·四川成都检测)已知抛物线C：y＝4x的焦点为F，点A(0，－3)．若线段
2
FA与抛物线C相交于点M，则|MF|＝( )
4
A. 32C. 3
B.D.5 33 3
解析：选A.由题意，F(1，0)，|AF|＝2，设|MF|＝d，则M到准线的距离为d，M的横坐标为d－1，由三角形相似，可得
2
d－12－d1＝4
，所以d＝，故选A. 23
4．直线l过抛物线y＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是( )
A．y＝12x C．y＝6x
22
B．y＝8x D．y＝4x
2
2
解析：选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线定义，
x1＋x2＋p＝8，
因为AB的中点到y轴的距离是2，所以
2
x1＋x2
2
＝2，
所以p＝4；所以抛物线方程为y＝8x.故选B.
1
5．抛物线x＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF33为等边三角形，则p＝________．
2
x2y2
AB33p??
解析：在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，＝p，所以B?±p，－?.
232??3
p2p2
34
又因为点B在双曲线上，故－＝1，解得p＝6.
33答案：6
6．(2019·云南大理州模拟)在直角坐标系xOy中，有一定点M(－1，2)，若线段OM的垂直平分线过抛物线x＝2py(p>0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．
解析：依题意可得线段OM的垂直平分线的方程为2x－4y＋5＝0， 5?p?把焦点坐标?0，?代入可求得p＝， 2?2?5
所以准线方程为y＝－.
45
答案：y＝－
4
7．顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x－4所得的弦长|AB|＝35，求此抛物线方程．
解：设所求的抛物线方程为y＝ax(a≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线y＝2x－4代入y＝ax，
得4x－(a＋16)x＋16＝0，
由Δ＝(a＋16)－256>0，得a>0或a<－32. 又x1＋x2＝
2
2
2
2
2
a＋16
4
，x1x2＝4，
2
2
所以|AB|＝（1＋2）[（x1＋x2）－4x1x2] ＝ ??a＋16?2?5???－16?＝35， ??4???a＋16?2?
－16?＝45， ?
??4??
2
2
所以5???
所以a＝4或a＝－36.
故所求的抛物线方程为y＝4x或y＝－36x.
8．已知抛物线y＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
2
2
(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标． 解：(1)抛物线y＝2px的准线为x＝－，
2
于是4＋＝5，所以p＝2.所以抛物线方程为y＝4x.
2(2)因为点A的坐标是(4，4)， 由题意得B(0，4)，M(0，2)． 4
又因为F(1，0)，所以kFA＝，
33
因为MN⊥FA，所以kMN＝－. 44
所以FA的方程为y＝(x－1)，①
3
2
pp2
MN的方程为y－2＝－x，②
联立①②， 84
解得x＝，y＝，
55
3
4
?84?所以N的坐标为?，?. ?55?
[综合题组练]
1．已知抛物线x＝4y上一动点P到x轴的距离为d1，到直线l：x＋y＋4＝0的距离为
2
d2，则d1＋d2的最小值是( )
A.C.
55
＋2 252
－2 2
2
52B.＋1
252D.－1
2
解析：选D.抛物线x＝4y的焦点F(0，1)，由抛物线的定义可得d1＝|PF|－1，则d1
＋d2＝|PF|＋d2－1，而|PF|＋d2的最小值等于焦点F到直线l的距离，即(|PF|＋d2)min＝5252＝，所以d1＋d2的最小值是－1.
22
2．(综合型)(2019·湖北武汉部分学校调研)过抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，若|NF|＝4，则M到直线NF的距离为( )
A.5 C．33
2
52
B．23 D．22
3
解析：选B.法一：因为直线MF的斜率为3，MN⊥l，所以∠NMF＝60°，又|MF|＝|MN|，且|NF|＝4，所以△NMF是边长为4的等边三角形，所以M到直线NF的距离为23.故选B.
法二：由题意可得直线MF的方程为x＝
3p232
y＋，与抛物线方程联立消去x可得y－323
py－p2＝0，解得y＝－
3?3p?p或y＝3p，又点M在x轴上方，所以M?，3p?，因为MN⊥l，
3?2?
?p?所以N?－，3p?，所以|NF|＝
?2??p＋p?＋（0－3p）2＝2p.由题意2p＝4，解得p＝2，
?22???
2
所以N(－1，23)，F(1，0)，直线NF的方程为3x＋y－3＝0，且点M的坐标为(3，23)，|33＋23－3|
利用点到直线的距离公式可得M到直线NF的距离为＝23.故选B.
3＋1
法三：由题意可得直线MF的方程为x＝
2
3p232
y＋，与抛物线方程联立消去x可得y－323
3p3??py－p＝0，解得y＝－p或y＝3p，又点M在x轴上方，所以M?，3p?，因为MN⊥l，
3?2?
?p?所以N?－，3p?，所以|NF|＝
?2??p＋p?＋（0－3p）2＝2p.由题意2p＝4，解得p＝2，
?22???
2
所以N(－1，23)，F(1，0)，M(3，23)，设M到直线NF的距离为d，在△MNF中，S△MNF111
＝|NF|×d＝|MN|×yM，所以d＝×4×23＝23，故选B. 224
3．(应用型)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________m.
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x＝－2py(p>0)，则A(2，－2)，将其坐标代入x＝－2py，得p＝1.
所以x＝－2y.
当水面下降1 m，得D(x0，－3)(x0>0)，将其坐标代入x＝－2y，得x0＝6，所以x0＝6.
所以水面宽|CD|＝26 m. 答案：26
4．已知抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与C的交点为P，与y轴的交点3
为Q，且|PF|＝|PQ|，则抛物线C的方程为________．
2
882
解析：设P(x0，4)．将点P的坐标代入y＝2px(p>0)，得x0＝，所以|PQ|＝，|PF|
2
2
2
2
2
2
pp 4
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