（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； （2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程。
x2y2??1上有两个不同点关于直线y?4x?m对称，求m的取值范围. 4．已知椭圆43点差法
1．求中心在原点，一个焦点为圆方程。
2．已知直线l与椭圆4x2?9y2?36相交于A、B两点，弦AB中点坐标（1，1），求AB及直线l的方程。
且被直线
截得的弦中点横坐标为
1的椭2x2?y2?1，3．已知椭圆（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程； 2（2）过A(2,1)引椭圆的割线，求截得得弦的中点轨迹方程； （3）求过点P(,)，且被P平分的弦所在的直线方程. 韦达定理
1122x2y23已知椭圆2?2?1?a?b?0?的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与
2ab椭圆相交于A、B两点，若AF?3BF, 求k的值。
第二讲 双曲线
［知识盘点］
一．双曲线的定义：我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于
|F1,F2|）的点的轨迹叫做双曲线，用符号表示为 。这两个定点叫双
曲线的 ，两个焦点之间的距离叫做双曲线的 。
注意：当2﹤2时，轨迹是双曲线；
当2＝2时，轨迹是两条射线；当2﹥2时，轨迹不存在。
二．双曲线的几何性质
椭圆 定义 到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(2a<|F1F2|)的点的轨迹 焦点在x轴上 焦点在y轴上 5
图 形 y y B2 F2 F1 A1 O A2 F2 x O B1 x F1 方 程 范围 中心 顶点 对称轴 焦点 焦距 实轴虚轴 离心率 通径 F1(─c,0), F2(c,0) A1（－a,0），A2(a,0) x2y2?2?1 2abx??a或x?a,y?R y2x2?2?1 2aby??a或y?a,x?R B1(0，─b)，B2(0，b) 原点O（0，0） 关于x,y轴成轴对称 关于原点成中心对称 F1(0,c), F2(0，─c) 2c （其中c=a2?b2） 实轴A1A2的长为2a 虚轴B1B2的长为2b e?c(e?1) a2b2 a渐近线 三．双曲线的性质： y??bx ay??ax b（1）双曲线参数的几何意义：在Rt△OAB（如图），它的三边长分别是a、b、c.易见c2=a2+b2，若记∠AOB=θ，则e=
c1=. acos?（2） 定义： ||MF1|－|MF2||=2a，其中2a＜|F1F2|，
注意： 当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；
当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；
当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线； 当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在. （3）双曲线上到左（右）焦点的距离最小值的点是左（右）顶点: PF?c?a， （4）双曲线上过焦点的弦中，端点在同一支上时通经最短，端点在两支上时实轴最短。
（5）双曲线的焦点到准线的距离为b； （6）在焦点三角形PF1F2中，
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①设顶角∠PF1F2=θ，则S?PF1F2?bcot2?2（双曲线的定义及余弦定理推导）
②双曲线的离心率与焦点三角形PF1F2的内角的关系：e?（正弦定理推导）
sin?F1PF2
sin?PF1F2?sin?PF2F1c>1，e越大，渐近线的斜率的绝对值就越大，它的开口就越阔. ax02y02x02y02（8）点P?xo,yo?在双曲线内，则2?2?1，点P?xo,yo?在双曲线外，则2?2?1；
abab（7）双曲线的e?（9）等轴双曲线：
1) 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. （a=b）
2）性质：①渐近线方程为：
；②渐近线互相垂直；③离心率.
④等轴双曲线可以设为：当时交点在x轴，当??0时焦点在y轴上。
（10）共轭双曲线:
1)定义：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲
线的共轭双曲线.
2）区别：三量a,b,c中a,b互换，c相同.共用一对渐近线.确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为－1.
y2y2x2x2（11）渐近线：给定了双曲线方程2－2=1，令2－2=0就可求得确定的两条渐近
abab线．但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程．
x2yx共渐近线的双曲线系：若已知渐近线方程是±=0，则可把双曲线方程表示为2－
abay2=?（?≠0），再根据已知条件确定?的值，求出双曲线的方程. b2
[基础闯关]
一、双曲线的方程及定义：
x2y2??1的图象是双曲线，那么k的取值范围是（ ） 1. 已知方程
2?kk?1Ａ．k＜１ Ｂ．k＞２ Ｃ．k＜１或k＞２ Ｄ．１＜k＜２ 2. “ab<0”是“曲线ax2+by2=1为双曲线”的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分又不必要条件
注：方程 Ax2+By2=1（A、B为实数）表示双曲线的充要条件为A*B<0；
7
当A>0、B<0时双曲线的焦点在x轴上；当A<0、B>0时双曲线的焦点在y轴上.
3. 双曲线mx2?y2?1的虚轴长是实轴长的2倍，则m?( ) (A)?11 (B)?4 (C)4 (D) 44x2y2??1左焦点F的直线交双曲线的左支于M、N两点，F2是其右焦点，则4．过双曲线
43MF2?NF2?MN的值为________.
x2y2??1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标为4，5．已知双曲线与椭圆
2736求双曲线的方程。
y2x26．给出问题：F1、F2是双曲线－=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的
1620距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在题中的横线上.______________________________________________________. 注: 双曲线上与左(右)焦点距离最近的点是左(右)顶点.
x2y27．P为双曲线2?2?1上一点，若F是一个焦点，以PF为直径的圆与圆x2?y2?a2的
ab位置关系是_______.
注意：以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）
二、共渐近线的双曲线系:
x21．过点（2，－2）且与双曲线－y2=1有公共渐近线的双曲线方程是( )
2y2y2y2y2x2x2x2x2(A)－=1 (B)－=1 (C)－=1 (D)－=1
24424224
x2y2［警示］渐近线是双曲线特有的，如果说双曲线的方程为2?2?1，则其渐近线方程可记
ab2222x2y2xyxy为2?2?0.同时，以??0为渐近线的双曲线，其方程可设为2?2??；若已知双曲线的
ababa2b2渐近线方程是以ax±by=0的形式给出的，则可设双曲线方程为a2x2－b2y2=?（?≠0）.
三、双曲线中的渐进线问题:
1.曲线x?y?1(a?2)的两条渐近线的夹角为
2a222?，则双曲线的离心率为 （ ） 3（A）23 （B）2336 （C）3 （D）2
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