复变函数试题与答案

（C）不可导的 （D）既不解析也不可导 2．函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的( )

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既非充分条件也非必要条件 3．下列命题中，正确的是( )

（A）设x,y为实数，则cos(x?iy)?1

（B）若z0是函数f(z)的奇点，则f(z)在点z0不可导

（C）若u,v在区域D内满足柯西-黎曼方程，则f(z)?u?iv在D内解析 （D）若f(z)在区域D内解析，则if(z)在D内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是( )

（A）x2?y2?2xyi （B）x2?xyi

（C）2(x?1)y?i(y2?x2z?0?2x) （D）x3?iy3

5．函数f(z)?z2Im(z)在

处的导数( )

（A）等于0 （B）等于1 （C）等于?1 （D）不存在

6．若函数f(z)?x2?2xy?y2?i(y2?axy?x2)在复平面内处处解析，那么实常 数a?( )

（A）0 （B）1 （C）2 （D）?2

7．如果f?(z)在单位圆z?1内处处为零，且f(0)??1，那么在z?1内f(z)?( )（A）0 （B）1 （C）?1 （D）任意常数 8．设函数f(z)在区域D内有定义，则下列命题中，正确的是

（A）若f(z)在D内是一常数，则f(z)在D内是一常数 （B）若Re(f(z))在D内是一常数，则f(z)在D内是一常数 （C）若f(z)与f(z)在D内解析，则f(z)在D内是一常数

（D）若argf(z)在D内是一常数，则f(z)在D内是一常数 9．设f(z)?x?iy，则f?(1?i)?( )

（A）2 （B）2i （C）1?i （D）2?2i 10．ii的主值为( )

（A）0 （B）1 （C）e （D）e11．ez在复平面上( )

（A）无可导点 （B）有可导点，但不解析 （C）有可导点，且在可导点集上解析 （D）处处解析 12．设f(z)?sinz，则下列命题中，不正确的是( )

（A）f(z)在复平面上处处解析 （B）f(z)以2?为周期

?2?22?2

eiz?e?iz（C）f(z)? （D）f(z)是无界的

213．设?为任意实数，则1?( )

（A）无定义 （B）等于1

（C）是复数，其实部等于1 （D）是复数，其模等于1 14．下列数中，为实数的是( )

（A）(1?i) （B）cosi （C）lni （D）e15．设?是复数，则( )

（A）z?在复平面上处处解析 （B）z?的模为z?33?i2?

（C）z?一般是多值函数 （D）z?的辐角为z的辐角的?倍 二、填空题

1．设f(0)?1,f?(0)?1?i，则limz?0f(z)?1? z2．设f(z)?u?iv在区域D内是解析的，如果u?v是实常数，那么f(z)在D内是

3．导函数f?(z)??u?v?i在区域D内解析的充要条件为 ?x?x33?i)? 222233224．设f(z)?x?y?ixy，则f?(?5．若解析函数f(z)?u?iv的实部u?x?y，那么f(z)? 6．函数f(z)?zIm(z)?Re(z)仅在点z? 处可导

7．设f(z)?15z?(1?i)z，则方程f?(z)?0的所有根为 58．复数ii的模为 9．Im{ln(3?4i)}?

10．方程1?e?z?0的全部解为 三、设

f(z)?u(x,y)?iv(x,y)为z?x?iy的解析函数，若记

w(z,z)?u(z?zz?zz?zz?z?w,)?iv(,)，则?0．

?z22i22i四、试证下列函数在z平面上解析，并分别求出其导数 1．f(z)?cosxcoshy?isinxsinhy;

2．f(z)?e(xcosy?ysiny)?ie(ycosy?ixsiny);

xxdwd2w,2. 五、设w?2zw?e?0，求

dzdz3z?xy2(x?iy)?,z?0六、设f(z)??x2?y4试证f(z)在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.

?0,z?0?七、已知u?v?x?y，试确定解析函数f(z)?u?iv.

22八、设s和n为平面向量，将s按逆时针方向旋转

?????即得n.如果f(z)?u?iv为解析函数，2则有

???u?v?u?v???,??（与分别表示沿s,n的方向导数）. ?s?n?n?s?s?n九、若函数f(z)在上半平面内解析，试证函数f(z)在下半平面内解析. 十、解方程sinz?icosz?4i.

第三章 复变函数的积分

一、选择题：

21．设c为从原点沿y?x至1?i的弧段，则(x?iy)dz?( )

2?c（A）

15151515?i （B）??i （C）??i （D）?i 66666666zdz为( ) ?2(z?1)(z?1)c2．设c为不经过点1与?1的正向简单闭曲线，则

（A）

?i?i （B）? （C）0 （D）(A)(B)(C)都有可能 22sinzdz? ( ) ?2c?c1?c2z3．设c1:z?1为负向，c2:z?3正向，则

（A） ?2?i （B）0 （C）2?i （D）4?i 4．设c为正向圆周z?2，则

coszdz? ( ) ?2c(1?z)（A）?sin1 （B）sin1 （C）?2?isin1 （D）2?isin1