复变函数试题与答案

第四章 级 数

一、选择题：

(?1)n?ni(n?1,2,?)，则liman( ) 1．设an?n??n?4（A）等于0 （B）等于1 （C）等于i （D）不存在

2．下列级数中，条件收敛的级数为( )

?(3?4i)n1?3in（A）?( ) （B）?n!2n?1n?1??in(?1)n?i（C） ? （D）?

nn?1n?1n?1?3．下列级数中，绝对收敛的级数为( )

?(?1)ni1i?n] （B） ?(1?) （B）?[nn2n?1n?1n??in(?1)nin(C)? （D）? nlnn2n?2n?1??4．若幂级数

?cn?0nzn在z?1?2i处收敛，那么该级数在z?2处的敛散性为( )

（A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）不能确定 5．设幂级数

?cnz,?ncnznn?0n?0??n?1和

cnn?1z的收敛半径分别为R1,R2,R3，则?n?0n?1?R1,R2,R3之间的关系是( )

（A）R1?R2?R3 （B）R1?R2?R3 （C）R1?R2?R3 （D）R1?R2?R3

6．设0?q?1，则幂级数

?qnzn的收敛半径R?( )

n?0?2（A）q （B）

1 （C）0 （D）?? q7．幂级数

?n?1?sinn?2(z)n的收敛半径R?( ) n2（A） 1 （B）2 （C）2 （D）??

(?1)nn?1z在z?1内的和函数为 8．幂级数?n?1n?0?（A）ln(1?z) （B）ln(1?z)

（D）ln11 (D) ln 1?z1?z??ezn9．设函数的泰勒展开式为?cnz，那么幂级数?cnzn的收敛半径R?( )

coszn?0n?0（A）?? （B）1 （C）

? （D）? 210．级数

11??1?z?z2??的收敛域是( ) 2zz（A）z?1 （B）0?z?1 （C）1?z??? （D）不存在的

11．函数

1在z??1处的泰勒展开式为( ) z2?n（A）

?(?1)n?1n(z?1)n?1(z?1?1) （B）?(?1)n?1n(z?1)n?1n?1?(z?1?1)

（C）??n(z?1)n?1?n?1(z?1?1) （D）?n(z?1)n?1n?1?(z?1?1)

12．函数sinz，在z?

??2

处的泰勒展开式为( )

(?1)n?(z?)2n?1（A）?2n?0(2n?1)!(?1)n?(z?)2n（B）?2n?0(2n)!?(z??2???)

(z??2???)

(?1)n?1?(z?)2n?1（C）?2n?0(2n?1)!?(z??2???)

(?1)n?1?(z?)2n（D）?2n?0(2n)!?(z??2???)

?13．设f(z)在圆环域H:R1?z?z0?R2内的洛朗展开式为

n????cn(z?z0)n，c为H内

绕z0的任一条正向简单闭曲线，那么

f(z)?c(z?z0)2dz?( )

(A)2?ic?1 （B）2?ic1 （C）2?ic2 （D）2?if?(z0)

??3n?(?1)n,n?0,1,2,?n14．若cn??，则双边幂级数?cnz的收敛域为( ) n4,n??1,?2,?n????（A）

11?z? （B）3?z?4 4311?z??? （D）?z??? 431在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m个，那么

z(z?1)(z?4)（C）

15．设函数f(z)?m?( )

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 二、填空题 1．若幂级数

?cn?0?n(z?i)n在z?i处发散，那么该级数在z?2处的收敛性

为 ． 2．设幂级数

?cn?0?nz与?[Re(cn)]zn的收敛半径分别为R1和R2，那么R1与R2之间的关

nn?0?系是 ． 3．幂级数

?(2i)n?0?nz2n?1的收敛半径R? 4．设f(z)在区域D内解析，z0为内的一点，d为z0到D的边界上各点的最短距离，那么当z?z0?d时，f(z)??cn?0?n(z?z0)n成立，其中cn? ．

5．函数arctanz在z?0处的泰勒展开式为 ． 6．设幂级数

?cn?0?nz的收敛半径为R，那么幂级数

n?(2n?0?n?1)cnzn的收敛半径

为 ．

?1znn?(?1)(1?)的收敛域为 ． 7．双边幂级数?(?1)?22(z?2)n?1n?1n?8．函数e?e在0?z???内洛朗展开式为 ． 9．设函数cotz在原点的去心邻域0?z?R内的洛朗展开式为收敛域的外半径R? ． 10．函数

z1zn????c?nzn，那么该洛朗级数

1在1?z?i???内的洛朗展开式为 ．

z(z?i)