第四章 级 数
一、选择题:
(?1)n?ni(n?1,2,?),则liman( ) 1.设an?n??n?4(A)等于0 (B)等于1 (C)等于i (D)不存在
2.下列级数中,条件收敛的级数为( )
?(3?4i)n1?3in(A)?( ) (B)?n!2n?1n?1??in(?1)n?i(C) ? (D)?
nn?1n?1n?1?3.下列级数中,绝对收敛的级数为( )
?(?1)ni1i?n] (B) ?(1?) (B)?[nn2n?1n?1n??in(?1)nin(C)? (D)? nlnn2n?2n?1??4.若幂级数
?cn?0nzn在z?1?2i处收敛,那么该级数在z?2处的敛散性为( )
(A)绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (D)不能确定 5.设幂级数
?cnz,?ncnznn?0n?0??n?1和
cnn?1z的收敛半径分别为R1,R2,R3,则?n?0n?1?R1,R2,R3之间的关系是( )
(A)R1?R2?R3 (B)R1?R2?R3 (C)R1?R2?R3 (D)R1?R2?R3
6.设0?q?1,则幂级数
?qnzn的收敛半径R?( )
n?0?2(A)q (B)
1 (C)0 (D)?? q7.幂级数
?n?1?sinn?2(z)n的收敛半径R?( ) n2(A) 1 (B)2 (C)2 (D)??
(?1)nn?1z在z?1内的和函数为 8.幂级数?n?1n?0?(A)ln(1?z) (B)ln(1?z)
(D)ln11 (D) ln 1?z1?z??ezn9.设函数的泰勒展开式为?cnz,那么幂级数?cnzn的收敛半径R?( )
coszn?0n?0(A)?? (B)1 (C)
? (D)? 210.级数
11??1?z?z2??的收敛域是( ) 2zz(A)z?1 (B)0?z?1 (C)1?z??? (D)不存在的
11.函数
1在z??1处的泰勒展开式为( ) z2?n(A)
?(?1)n?1n(z?1)n?1(z?1?1) (B)?(?1)n?1n(z?1)n?1n?1?(z?1?1)
(C)??n(z?1)n?1?n?1(z?1?1) (D)?n(z?1)n?1n?1?(z?1?1)
12.函数sinz,在z?
??2
处的泰勒展开式为( )
(?1)n?(z?)2n?1(A)?2n?0(2n?1)!(?1)n?(z?)2n(B)?2n?0(2n)!?(z??2???)
(z??2???)
(?1)n?1?(z?)2n?1(C)?2n?0(2n?1)!?(z??2???)
(?1)n?1?(z?)2n(D)?2n?0(2n)!?(z??2???)
?13.设f(z)在圆环域H:R1?z?z0?R2内的洛朗展开式为
n????cn(z?z0)n,c为H内
绕z0的任一条正向简单闭曲线,那么
f(z)?c(z?z0)2dz?( )
(A)2?ic?1 (B)2?ic1 (C)2?ic2 (D)2?if?(z0)
??3n?(?1)n,n?0,1,2,?n14.若cn??,则双边幂级数?cnz的收敛域为( ) n4,n??1,?2,?n????(A)
11?z? (B)3?z?4 4311?z??? (D)?z??? 431在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m个,那么
z(z?1)(z?4)(C)
15.设函数f(z)?m?( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题 1.若幂级数
?cn?0?n(z?i)n在z?i处发散,那么该级数在z?2处的收敛性
为 . 2.设幂级数
?cn?0?nz与?[Re(cn)]zn的收敛半径分别为R1和R2,那么R1与R2之间的关
nn?0?系是 . 3.幂级数
?(2i)n?0?nz2n?1的收敛半径R? 4.设f(z)在区域D内解析,z0为内的一点,d为z0到D的边界上各点的最短距离,那么当z?z0?d时,f(z)??cn?0?n(z?z0)n成立,其中cn? .
5.函数arctanz在z?0处的泰勒展开式为 . 6.设幂级数
?cn?0?nz的收敛半径为R,那么幂级数
n?(2n?0?n?1)cnzn的收敛半径
为 .
?1znn?(?1)(1?)的收敛域为 . 7.双边幂级数?(?1)?22(z?2)n?1n?1n?8.函数e?e在0?z???内洛朗展开式为 . 9.设函数cotz在原点的去心邻域0?z?R内的洛朗展开式为收敛域的外半径R? . 10.函数
z1zn????c?nzn,那么该洛朗级数
1在1?z?i???内的洛朗展开式为 .
z(z?i)
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