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绝密★启用前
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2019 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学 全国 II
R， L2 点到月球的距离为 r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，地月连线的延
卷
_ ： - 号 - 学 -
_
长线上．设地球质量为
本试卷共 23 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟
(适用地区：内蒙古 /黑龙江 /辽宁 / 吉林 /重庆 /陕西 /甘肃 /宁夏 / 青海 /新疆 /西藏 /海南 )
注意事项：
M１ ，月球质量为 M２ ，地月距离为 ， L2 点到月球的距 r 满足方程：
R离为 r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，
M1
2
M 2 2
_ -
(R r ) 3 .
M1
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-
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_ -
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线_
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封_ 密_ _ _ - ： -
名 姓 -
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- 班
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年
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-
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线_
封_ 密_
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-
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- _ - ： 校 - 学 -
1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在
答题卡上。写在本试卷上无效。
3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选
项中， 只有一项是符合题目要求的。
1．设集合 A={ x|x2 -5x+6>0} ， B={ x|x-1<0} ，则 A∩B=
A ． (-∞，1)
B ． (-2， 1) C． (-3， -1)
D ．(3， +∞)
2．设 z=-3+2i ，则在复平面内 z对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限 C．第三象限
D ．第四象限
3．已知 uuur
AB =(2,3) ， AC =(3 uuur ， t)， BC =1uuur ，则 AB uuur uuur
BC =
A ． -3
B． -2
C． 2
D ．3
4． 2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，
我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键
技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中
继星 “鹊桥 ”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L2 点的轨道运行． L2 点是平衡点，
位于地月连线的延长线上．设地球质量为
M１ ，月球质量为 M２ ，地月距离为
- 1 -
(R r)
r
R
设
r ，由于 的值很小，因此在近似计算中
3 3
3 45 3 3 ，则 R
(1 ) 2
r 的近似值为
A ．
M
M
M 2
R
B ． 2
R
C．
3
3M
2
R
D ．
3
2 R
M 1
2M 1
M 1
3M 1
5．演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从
9 个原始评分中去掉 1 个最高分、 1 个最低分， 得到 7 个有效评分 .7 个有效评分
与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数
B ．平均数
C．方差
D．极差
6．若 a>b，则
A ． ln(a- b)>0
B ．3a<3 b
C． a3- b3>0
D ． │a│ >│b│
7．设 α， β为两个平面，则 α∥ β的充要条件是
A ． α内有无数条直线与 β平行 B ．α内有两条相交直线与 β平行
C． α， β平行于同一条直线
D ．α，β垂直于同一平面
8．若抛物线 y2
=2px(p>0) 的焦点是椭圆
x
2
2
1 的一个焦点，则 p=
3p
y
p
- 2 -
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A ．2
B． 3
C． 4 D． 8
9．下列函数中，以
为周期且在区间 ( ， )单调递增的是
2
4
2
A ．f(x)= │ cos x2│ B ． f(x)= │ sin 2x│ C．f(x)=cos │x│
D ． f(x)= sin x│
10．已知 α∈ (0， )， 2sin 2α=cos 2α+1，则 sin α=
2
A ．
1
B ．
5
5
5
C．
3
D ． 2 5
3
5
2 11．设 F 为双曲线 C：
x2 y1(a
0,b 0) 的右焦点， O 为坐标原点，以
a2 b2
OF 为直径的圆与圆 x2 y2 a2 交于 P， Q 两点 .若 PQ
OF ，则 C 的离
心率为
A ． 2
B ． 3 C． 2
D ．
5
12．设函数 f ( x) 的定义域为
R ，满足 f (x
1) 2 f ( x) ，且当 x (0,1]
时， f (x) x( x
1) .若对任意 x
(
, m] ，都有 f ( x)
8 ，则 m
9
的取值范围是
A ．
,
9
B ．
,
7
4
3
C．
,
5 D ．
,
8
2
3
- 3 -
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13 ．我国高铁发展迅速，技术先进
.经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车
次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为
0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 14 ．已知 f ( x) 是奇函数，且当
x 0 __________.
时， ax
. 若 f (ln 2) 8 ，则 a ( )
f x e
__________.
．
的内角 A, B , C 的对边分别为 a , b, c 若 b 6, a 2c, B
π
，则
15 △ABC .
3
△ABC
的面积为 __________.
16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一
.印信的形状多为长方
体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是
“半正多面
体 ”（图 1） .半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体
.半正
多面体体现了数学的对称美 .图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有
顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为
1.则该半正多面体共
有 ________个面，其棱长为 _________. （本题第一空 2 分，第二空 3 分 .）
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三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第
17~21 题
18．（ 12 分）
为必考题， 每个试题考生都必须作答。 第 22、23 题为选考题， 考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。 17．（ 12 分）
11 分制乒乓球比赛，每赢一球得
1 分，当某局打成 10:10 平后，每球交换发
球权，先多得 2 分的一方获胜，该局比赛结束 赛，假设甲发球时甲得分的概率为
.甲、乙两位同学进行单打比
如图，长方体 ABCD –A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上， 0.5，乙发球时甲得分的概率为
0.4，各球
BE⊥ EC
1.
（ 1）证明： BE⊥平面 EB1 C1；
（ 2）若 AE=A1E，求二面角
B–EC–C1 的正弦值 .
- 5 -
的结果相互独立 .在某局双方 10:10 平后，甲先发球，两人又打了
X 个球该局
比赛结束 .
（ 1）求 P（ X=2 ）；
（ 2）求事件 “X=4 且甲获胜 ”的概率 .
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