上海市虹口区2018届高三下学期质量调研（二模）数学试（含解答）

上海市虹口区2018届高三二模数学试卷

2018.04

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知A?(??,a]，B?[1,2]，且AB??，则实数a的范围是 2. 直线ax?(a?1)y?1?0与直线4x?ay?2?0互相平行，则实数a? 3. 已知??(0,?)，cos???，则tan(??35?4)?

4. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为?、?、?，则

cos2??cos2??cos2??

??x2x?05. 已知函数f(x)???x，则f?1[f?1(?9)]? ?2?1x?06. 从集合{?1,1,2,3}随机取一个为m，从集合{?2,?1,1,2}随机取一个为n，则方程 x2y2??1表示双曲线的概率为 mn7. 已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a2、a4、a3成等差数列，则q? 2368. 若将函数f(x)?x6表示成f(x)?a0?a1(x?1)?a2(x?1)?a3(x?1)?????a6(x?1)，则a3的

值等于

9. 如图，长方体ABCD?A1B1C1D1的边长AB?AA1?1，

AD?2，它的外接球是球O，则A、A1这两点的球面

距离等于

10. 椭圆的长轴长等于m，短轴长等于n，则此椭圆的 内接矩形的面积的最大值为

7x1?[2]??0满足x?1的所有实数解是 4412. 函数f(x)?sinx，对于x1?x2?x3?????xn且x1,x2,???,xn?[0,8?]（n?10），记

11. [x]是不超过x的最大整数，则方程(2x)2?M?|f(x1)?f(x2)|?|f(x2)?f(x3)|?|f(x3)?f(x4)|?????|f(xn?1)?f(xn)|，则M

的最大值等于

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 下列函数是奇函数的是（ ）

A. f(x)?x?1 B. f(x)?sinx?cosx C. f(x)?arccosx D. f(x)???xx?0

??xx?014. 在Rt?ABC中，AB?AC，点M、N是线段AC的三等分点，点P在线段BC上运 动且满足PC?k?BC，当PM?PN取得最小值时，实数k的值为（ ） A.

1111 B. C. D.

382415. 直线l:kx?y?k?1?0与圆x2?y2?8交于A、B两点，且|AB|?42，过点A、B分别作l的垂线与y轴交于点M、N，则|MN|等于（ ）

A. 22 B. 4 C. 42 D. 8 16. 已知数列{an}的首项a1?a，且0?a?4，an?1??项和，则以下结论正确的是（ ）

A. 不存在a和n使得Sn?2015 B. 不存在a和n使得Sn?2016 C. 不存在a和n使得Sn?2017 D. 不存在a和n使得Sn?2018

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，AB?AC?1，?BAC?点M1、M2、N1、N2为所在线段的三等分点. （1）求此三棱柱的体积和三棱锥A1?AM1N2的体积； （2）求异面直线A1N2、AM1所成的角的大小.

18. 已知?ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，z?cosA?i?sinA（i是 虚数单位）是方程z2?z?1?0的根，a?3. ，求边长c的值；

4（2）求?ABC面积的最大值. （1）若B?

?an?4an?4，Sn是此数列的前n

6?aa?4nn??2，高等于3，

?

19. 平面内的“向量列” {an}，如果对于任意的正整数n，均有an?1?an?d，则称此“向量列”为“等差向量列”， d称为“公差向量”，平面内的“向量列” {bn}，如果对于任意的正整数n，均有bn?1?q?bn（q?0），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q称为“公比”. （1）如果“向量列” {an}是“等差向量列”，用a1和“公差向量” d表示a1?a2?????an； （2）已知{an}是“等差向量列”，“公差向量” d?(3,0)，a1?(1,1)，an?(xn,yn)，{bn}是“等比向量列”，“公比” q?2，b1?(1,3)，bn?(mn,kn)，求a1?b1?a2?b2?????an?bn.

x220. 如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆C:?y2?1，

2点M(m,n)是椭圆C上的任意一点，直线l过点M且是椭圆C的“切线”.

（1）证明：过椭圆C上的点M(m,n)的“切线”方程是

mx?ny?1； 2（2）设A、B是椭圆C长轴上的两个端点，点M(m,n)不在坐标轴上，直线MA、MB分别交y轴于点P、Q，过M的椭圆C的“切线” l交y轴于点D，证明：点D是线段PQ的中点； （3）点M(m,n)不在x轴上，记椭圆C的两个焦点分别为F1和F2，判断过M的椭圆C的“切线”

l与直线MF1、MF2所成夹角是否相等？并说明理由.

21. 已知函数f(x)?ax3?x?a（a?R，x?R），g(x)?x（x?R）. 31?x?34（1）如果x?是关于x的不等式f(x)?0的解，求实数a的取值范围；

2?34?34（2）判断g(x)在(?1,]和[,1)的单调性，并说明理由；

22（3）证明：函数f(x)存在零点q，使得a?q?q?q?????q

473n?2?34????成立的充要条件是a?. 3