12GMm mv?22rGMm又 Ep??
r所以 Ek?L2所以 Ep??2Ek?? 2mrL2所以 E?Ek?Ep??
2mr2
2-29 一质量为m1与另一质量为m2的质点间有万有引力作用。试求使两质点间的距离由x1增加到x?x1?d时所需要作的功。
[解] 万有引力 F??Gm1m2r2r0
两质点间的距离由x增加到x?x1?d时，万有引力所作的功为
A??x1?dx1F?dr???x1?dx1Gm1m2r2?11?dr?Gm1m2???x?dx??
1??1故外力所作的功
A???A??x1?dx1?11?d?F?dr?Gm1m2???Gmm 12?x???x?dxx?d111?1?此题也可用功能原理求： A外??E??Ep＝?
2-30 设两粒子之间的相互作用力为排斥力，其变化规律为f?kr2，k为常数。若取无穷远处为零势能参考位置，试求两粒子相距为r时的势能。
[解]由势能的定义知r处的势能Ep为:
Ep??f?dr??fdr??rr???rk1dr??kr32r2?r?k 22r
2-31 设地球的质量为M，万有引力恒量为G0，一质量为m的宇宙飞船返回地球时，可认为它是在地球引力场中运动(此时飞船的发动机已关闭)。求它从距地心R1下降到R2处时所增加的动能。
[解] 由动能定理，宇宙飞船动能的增量等于万有引力对飞船所作的功，而此功又等于这一过程中地球与飞船系统势能增量的负值，即：
?Ek???Ep??[?G0MmMm?(?G0)]R2R1Mm(R1?R2)?G0R1R2
2-32 双原子中两原子间相互作用的势能函数可近似写成Ep?x??ab，式中a、b?x12x6为常数，x为原子间距，两原子的势能曲线如图所示。(1)x为何值时Ep?x??0x为何值时Ep?x?为极小值(2)试确定两原子间的作用力；(3)假设两原子中有一个保持静止，另一个沿x轴运动，试述可能发生的运动情况。
[解] (1) 当Ep?x?=0时，有：
ab??0 126xx1a即 x6? 或 6?0
bxa1?0 故 x1?()6或x??时，E（px）bEp(x)为极小值时，有
dEp(x)dx?0
即 ?12ab?6?0 137xx?所以 x1????b?12a?6或x2??
(2)设两原子之间作用力为f?x?，则
f(x)??gradE(x)
p在一维情况下，有
f(x)??dEp(x)dx?12ab ?6x13x7(3)由原子的受力情况可以看出可能发生的运动情况为:当x f(x)>0，它们互相排斥，另一原子将远离；当x>x时f(x)<0，它们又互相吸引，另一原子 在远离过程中减速，直至速度为零，然后改变方向加速靠近静止原子，再当x 受斥力，逐渐减速到零，原子又将远离。如此循环往复。若开始时两原子离得很远，则f(x)趋于零，两原子互不影响。 2-33 两核子之间的相互作用势能，在某种准确程度上可以用汤川势 ?r?Ep?r???E0?0?e?rr0来表示，式中E0约为50MeV，r0约为1.5?10?15m。(1)试求两个柱子 ?r?之间的相互作用力F与它们之间距离r之间的函数关系；(2)求r?r0时相互作用力的值； (3)求r?2r0，r?5r0，r?10r0时作用力的值，并通过比较解释什么是短程力。 [解] (1) f?r???dEp?r?dr??ddr??r0??rr??r0?Ee??E????00?r???r??0??11??rr ???r?r??e??0?0 f?r?<0为引力 (2) 当r?r0时，F0?E02?12E0e??3.92?103N r02r0r02r0r05r0?13E01??233???e??F?0.54?10N 02?2r?r8e4er0??00?16E01??53???e??F0 54?5r?25er025e?0r0?r010r0?111E01??1011???e??F0 107?10r?r100er200e0??00 (3) 当r?2r0时，F2?E0 当r?5r0时，F5?E0 当r?10r0时，F5?E0 由以上的计算结果知，当r增大时，F值迅速减小，即F只在r比较小的范围内(数量级均为10?14m)有明显作用，这种力就叫做短程力。
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