4.a＝131 231＝3×7×11，
111131a＋＋＝＝。 37112312315.
1111 设＋＝，则12的约数有1，2，3，4，6，12。再取任意互质的两数之和，
ab1284乘以原分数的分子与分母使等式成立的全部结果为：a，b分别为：24，24；18，36；14，84；21，28；16，48；13，156；15，60；20，30。满足这两个分数单位之差的最小值应为：
11111－＝－＝。 ab212884
第六章 定义新运算
A级
1.3 (1△3)▽ 3＝(1×3x)▽3＝
3x?33?33x?3，1△(3▽3)＝1△＝1×3×x，即＝ 2223?3＝3。 2 1×3×x，解得x＝1。则(1△3)▽3＝(1×3×1)▽3＝3▽3＝
1
1
1
2.(1)8 96 因为42＝2×3×7，所以A(42)＝(1＋1)×(1＋1)×(1＋1)＝8， B(42)＝(1＋2)×(1＋3)×(1＋7)＝3×4×8＝96。
(2)N＝24 因为8＝2×2×2＝4×2＝8×1，所以知有8个约数的数有如下情况(a，b，c均为质数)：a×b×c、a×b或是a。当a，b，c分别为2，3，5时，因为2×3×5＝30，2×3＝24，2＝128，所以N＝24时，即A(24)为最小。 3.
3
71
1
1
3
1
7
1
1
1
111111 1△1＝＋＝1＋，且1＋＝1，所以A＝2。
4990001?11?(A?1)3A?1A?1111121 998△999＝＋＝－＝＝。
998?999999?10009981000998000499000△x＝27，[6，x]不小于27＋1＝28，不大于27＋6＝33。而在28～33之间，4.15 因为6○
只有30是6的倍数。所以[6，x]＝30，(6，x)＝30－27＝3，30×3＝6x，x＝15。
×3)○＋3＝1○＋(3○×3)，所以(A×1×3)○＋3＝1○＋(A×3×3)，即(3A)○＋3＝1○＋5.2 因为(1○
(9A)，所以
3A?31?9A111?3×3)○＋3＝(＋3＝1○＋3＝＝，A＝。(1○×1×3)○＝2。
223326.2 因为x△10＝65，所以x＋(x＋1)＋(x＋2)＋(x＋3)＋?＋(x＋10－1)＝65，10x＋1＋2＋?＋9＝65，x＝2。 7.4
106?1?26?2?910 因为1△2＝2，所以＝2，m＝2。2△9＝＝4。 11m?1?2?22?2?2?911 B级
1.5 x*5－5*x＝(3x－2×5)－(3×5－2x)＝5x－25，由5x－25＝5，解得x＝5。 2.(1)9 [(9＋5)÷2－4]×3＝9。
(2)66 通过反向输入得：{[(100＋4)－5]÷3}×2＝66。 (3)C·D·A·B。 3.
81 ▽4＝13211?1?1?1111?12＝
8。 134.
1111 因为1*1＝＋＝1，所以k＝20。 1998*1999＝
19980001?11?(k?1)311111＋＝－＝。
1998?19991999?(2?1998)1998200019980005.225 因为x*9＝91，所以5×x＋4×9＝91，x＝11。
1111*(x*)＝*(11*)＝54541111*(5×11＋4×)＝*56＝5×＋4×56＝225。 54556.42 18△12＝(18，12)＋[18，12]＝6＋36＝42。 能力测试
1.(1)真 因为a*b＝2ab，b*a＝2ba＝2ab，所以a*b＝b*a。
(2)真 因为(a*b)*c＝(2ab)*c＝2(2ab)c＝4abc，a*(b*c)＝a*(2bc)＝2a(2bc)＝4abc，所以(a*b)*c＝a*(b*c)。 (3)真 因为
111111*a＝2×a＝a，a*＝2×a×＝a，所以*a＝a*＝a。 2222222.
17k?5?6k?6?5k?5?6k?6?5＋6＝＋5＝＋6＝6○＋5，则 5○，6○，而5○＝，
5?66?55?66?572a?b6?42?1517＋4)×(2○＋15)＝，(6○×＝。
ab6?42?1572＋b＝即5k＋6＝6k＋5，k＝1。则a○
3.
13?13?4131 (1△6)＋(4△8)＝＋＝＋＝。 24?64?88824.(1)4 依题意有51＋52＋53＋54＝210，可知x是加数的个数应为4。
(2)38 x*5＝200，x＋(x＋1)＋(x＋2)＋(x＋3)＋(x＋4)＝200，5x＋10＝200，x＝38。
3＝5?3，5.1 3,5，3＝2，3＝3－2＝1。
1111116.1 3*2＝＋＝＋，且3*2＝，则
3?2(3?1)?(2?A)64?(2?A)44?(2?A)＝
111－＝，4(2＋A)＝12，A＝1。 46127.25 [(7○3)△5]×(5○(3△7)]＝[3△5]×[5○7]＝5×5＝25。
8.3 a*b的含义为从a开始的b个连续自然数相乘。由3660＝60×61，知x*3＝60，三个连续自然数的乘积是60，只有3×4×5＝60，∴x＝3。
9.34 根据题中的规定知P*Q＝5 P＋3Q，所以x*9＝5x＋3×9，又知x*9＝37，即5x＋3×9＝37，解得x＝2。因此
111111*(x*)＝*(5×2＋3×)＝*11＝5×＋3×11＝34。 53535510.
115a?66a?55a?6 根据规定知，5*6＝，,6*5＝。又知5*6＝6*5，所以＝ 125?66?55?66a?51?3?21?1?1011，5a＋6＝6a＋5，a＝1。所以(3*2)×(1*10)＝×＝。 6?53?21?1012
第七章 估 算
A 级 1.
113579924610022大 设x＝××××?×，x＜×××?×，x＜x×102468100357101346100111××?×＝＜，所以x＜。 571011011001011?(20?1)?12?(21?1)?13?(22?1)?14?(23?1)×25＝(1＋
11?20?12?21?13?22?14?23)×25
＝
25
＋
×
2.26 a＝
11?12?13?1411?20?12?21?13?22?14?2311?12?13?14×25，
11?20?12?21?13?22?14?23a放大＝25＋
11?12?13?1411×25＝25＋×25＝26，
11?20?12?20?13?20?14?2020411?12?13?142×25 ＝26。
11?23?12?23?13?23?14?2323a缩小＝25＋
故26
12＞a＞26，a的整数部分为26。 42311111???????＝2－ ＜2，所以A＜2。
101?22?33?49?103.A＜2 A放大＝1?4.共64页；被撕掉的一张页码为43和44显然这本书的页码数是一个从1开始的等差数列，它们的总和必须大于1993，估算有
(1?62)?62(1?63)?63＜1993＜，即1953＜1993
22＜2016，但根据题意页码数应为偶数，即共有64页，不被撕掉一张(两面)时页码数的总和应该等于：
(1?64)?64＝2080。被撕掉的一张(两面)的页码数和应为2080－1993＝87，
2又87＝43＋44，故被撕掉的两面的页码数分别为43和44。
5.8 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36＜40 ，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45 ＞40，所以最多可放8个盒子里，放法如下：
40＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋12＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋8＋11＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋9＋10 P1＋2＋3＋4＋5＋7＋8＋10. 6.10 由
cabc是最简分数可知c只能取1或5。假设c取1，由于＋＋＜1＋1＋1＝3，6346111a?5b?510a?1＋＋仍不为6，故c只能取5。由于＋＋＝6，即＋3466334所以再加上
4b?1410a?1b?14410a?1b?1＋＋＋＝6，＋＝6－－－，＋＝2。上式左34463434634端的两个数均应为1，所以a＝2，b＝3，a＋b＋c＝2＋3＋5＝10。 7.1335 原式化简为[
1?12?13?14?190?1]＋[]＋[]＋[]＋?＋[]，经观察不难33333现[
3?14?15?16?17?18?19?110?1]＝[]＝[]＝1；[]＝[]＝[]＝2；[]＝[]
33333333
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