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一元二次方程及其应用
选择题
1. （2014?海南,第10题3分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（ ） 2222 A．D． 100（1+x）=81 B． 100（1﹣x）=81 C． 100（1﹣x%）=81 100x=81 考点： 由实际问题抽象出一元二次方程． 专题： 增长率问题． 分析： 若两次降价的百分率均是x，则第一次降价后价格为100（1﹣x）元，第二次降价后2价格为100（1﹣x）（1﹣x）=100（1﹣x）元，根据题意找出等量关系：第二次降价后的价格=81元，由此等量关系列出方程即可． 解答： 解：设两次降价的百分率均是x，由题意得： x满足方程为100（1﹣x）=81． 故选B． 点评： 本题主要考查列一元二次方程，关键在于读清楚题意，找出合适的等量关系列出方程． 2．（2014?宁夏，第3题3分）一元二次方程x﹣2x﹣1=0的解是（ ） A．B． x1=1+，x2=﹣1C． x1=1+，x2=1﹣D． x1=﹣1+x1=x2=1 ﹣ 1﹣ 考点： 解一元二次方程-配方法． 专题： 计算题． 分析： 方程变形后，配方得到结果，开方即可求出值． 22解答： 解：方程x﹣2x﹣1=0，变形得：x﹣2x=1， 2222，x2=﹣配方得：x﹣2x+1=2，即（x﹣1）=2， 开方得：x﹣1=±， 解得：x1=1+，x2=1﹣． 故选C． 点评： 此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 3．(2014?陕西,第8题3分)若x=﹣2是关于x的一元二次方程x﹣ax+a=0的一个根，则a的值为（ ） A． 1或4 或﹣4
考点： 一元二次方程的解．
22
B． ﹣1或﹣4 C． ﹣1或4 D． 1
分析： 将x=﹣2代入关于x的一元二次方程x﹣ax+a=0，再解关于a的一元二次方程即可．
解答： 解：∵x=﹣2是关于x的一元二次方程x﹣ax+a=0的一个根， ∴4+5a+a=0，
∴（a+1）（a+4）=0， 解得a1=﹣1，a2=﹣4，
2
2
2
22
故选B
点评： 本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解题关键是把x的值代入，再解关于a的方程即可．
4．（2014?湖北黄冈,第6题3分）若α、β是一元二次方程x+2x﹣6=0的两根，则α+β=（ ） A．﹣8 32 B． 16 C． 40 D． 2
2
2
考点： 根与系数的关系． 专题： 计算题． 22分析： 根据根与系数的关系得到α+β=﹣2，αβ=﹣6，再利用完全平方公式得到α+β=（α+β）2﹣2αβ，然后利用整体代入的方法计算． 解答： 解：根据题意得α+β=﹣2，αβ=﹣6， 所以α+β=（α+β）﹣2αβ=（﹣2）﹣2×（﹣6）=16． 故选C． 2点评： 本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，2222x2，则x1+x2=﹣，x1?x2=． 5. （2014?湖北荆门,第5题3分）已知α是一元二次方程x﹣x﹣1=0较大的根，则下面对α的估计正确的是（ ） A． 0＜α＜1 B． 1＜α＜1.5 C． 1.5＜α＜2 D． 2＜α＜3
考点： 解一元二次方程-公式法；估算无理数的大小．
分析： 先求出方程的解，再求出的范围，最后即可得出答案．
2解答： 解：解方程x﹣x﹣1=0得：x=∵a是方程x﹣x﹣1=0较大的根， ∴a=
，
2
2
，
∵2＜＜3， ∴3＜1+＜4， ∴＜
＜2，
故选C．
点评： 本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中． 6．（2014?攀枝花，第8题3分）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（ ） α2+β2=3 A．α+β=﹣1 B． αβ=﹣1 C． D． +=﹣1 考点： 根与系数的关系． 专题： 计算题． 分析： 先根据根与系数的关系得到α+β=﹣1，αβ=﹣1，再利用完全平方公式变形α2+β2得到（α+β）2﹣2αβ，利用通分变形+得到，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进行判断． 解答： 解：根据题意得α+β=﹣1，αβ=﹣1． 所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=（﹣1）2﹣2×（﹣1）=3； +===1． 故选D． 点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1?x2=． 7．
二、填空题
1. （2014?湖南永州,第10题3分）方程x2﹣2x=0的解为 x1=0，x2=2 ． 考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元一次方程．. 专题： 计算题． 分析： 把方程的左边分解因式得x（x﹣2）=0，得到x=0或 x﹣2=0，求出方程的解即可． 解答： 解：x2﹣2x=0， x（x﹣2）=0， x=0或 x﹣2=0， x1=0 或x2=2． 故答案为：x1=0，x2=2． 点评： 本题主要考查对解一元二次方程﹣因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 2. （2014?随州，第14题3分）某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 20% ． 考点： 一元二次方程的应用 专题： 增长率问题． 分析： 本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案． 解答： 解：设这个增长率是x，根据题意得： 22000×（1+x）=2880 解得：x1=20%，x2=﹣220%（舍去） 故答案为：20%． 点评： 本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出方程是本题的关键． 3、（2014?江西，第10题3分）若a,b是方程x-2x-3=0的两个实数根，则
2a2+b2=_______。
1【答案】 x＞ 。
2
【考点】 根的判别式，根与系数的关系，完全平方公式，代数式求值．
根据一元二次方程根与系数的关系，若任意一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）有两根x1，bcx2，则x1+x2=－ ,x1?x2= ,根据完全平方化公式对化数进行变形，代入计算即可. aa【解答】 解：∵a、b是方程x－2x－3＝0的两根， ∴a+b=2，ab=－3， a＋b=（a＋b）-2ab＝2-2×(-3)=10. 【点评】 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：如果方程的bc
两根为x1，x2，则x1+x2=－ ,x1?x2= .也考查了代数式的变形能力、整体思想的运用．
aa4．（2014?黑龙江哈尔滨,第15题3分）若x=﹣1是关于x的一元二次方程x+3x+m+1=0的
一个解，则m的值为 1 ．
考点：一元二次方程的解． 专题：计算题． 分析：根据x=﹣1是已知方程的解，将x=﹣1代入方程即可求出m的值． 解答：解：将x=﹣1代入方程得：1﹣3+m+1=0，
解得：m=1． 故答案为：1 点评：此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
5. (2014?黑龙江牡丹江, 第18题3分)现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个
2
角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm的无盖的长方体盒子，
2
根据题意列方程，化简可得 x﹣70x+825=0 ．
考点： 由实际问题抽象出一元二次方程． 专题： 几何图形问题．
分析： 本题设小正方形边长为xcm，则长方体盒子底面的长宽均可用含x的代数式表示，从而这个长方体盒子的底面的长是（80﹣2x）cm，宽是（60﹣2x）cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，方程可列出． 解答： 解：由题意得：（80﹣2x）（60﹣2x）=1500
2
整理得：x﹣70x+825=0，
2
故答案为：x﹣70x+825=0．
点评： 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．另外，要学会通过图形求出面积．
22
6．（2014?莱芜，第15题4分）若关于x的方程x+（k﹣2）x+k=0的两根互为倒数，则k= ﹣1 ．
2
222-222
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