三、解答题（本大题共6小题，计75分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。） 16．(12分)在?ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c。已知cos2A?3cos?B?C??1。 （I）求角A的大小；
（II）若?ABC的面积S?53，b?5，求sinBsinC的值。
解（1）cos2A?3cosA?1（1分）?2cosA?3cosA?2?0（3分）
21??(cosA?2)(2cosA?1)?0?cosA?（1分）?A?（1分）
23（2）S?153bcsinA?c?53?c?4，（2分） 24a2?b2?c2?2bccosA?21?a?21（2分）
sinAsinAsin2A5sinB?b,sinC?c?sinBsinC?bc?（2分） 2aaa717. (12分)如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, AB?AA1?2.
D1A1B1C1DAOBC
(Ⅰ) 证明:平面 A1BD // 平面CD1B1;
(Ⅱ) 求三棱柱ABD－A1B1D1的体积.
（1）∵A1B1和AB，AB和CD分别平行且相等，∴A1B1和CD平行且相等，即有四边形A1B1 CD为平行四边形，∴A1D和B1C平行，同理A1B和D1C也平行，（4分）有D1C和B1C是相交的（相交于C），（2分）故平面A1BD平行于CD1B1 （2）?A1O?面ABCD?A1O是三棱柱A1B1D1?ABD的高.
在正方形AB CD中,AO = 1 . 在RT?A1OA中，A1O?1.（3分）
三棱柱A1B1D1?ABD的体积VA1B1D1?ABD?S?ABD?A1O?所以，三棱柱A1B1D1?ABD的体积VA1B1D1?ABD?1.
1?(2)2?1?1.（3分） 218．(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l:y?2x?4,设圆C的半径为1，圆
心在l上。
（1）若圆心C也在直线y?x?1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； （2）若圆C上存在点M，使MA?2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围。
18．解：（1）由??y?2x?4得圆心C为（3,2），∵圆C的半径为1
?y?x?122∴圆C的方程为：(x?3)?(y?2)?1（1分）
显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y?kx?3，即kx?y?3?0
∴
3k?2?33?1∴3k?1?k2?1∴2k(4k?3)?0∴k?0或者k??
4k2?1∴所求圆C的切线方程为：y?3或者
3y??x?3即y?3或者3x?4y?12?0（3分）
4（2）解：∵圆C的圆心在在直线l:y?2x?4上，所以，设圆心C为（a,2a-4） 则圆C的方程为：(x?a)?y?(2a?4)又∵MA?2MO∴设M为（x,y）则D（3分）
∴点M应该既在圆C上又在圆D上 即圆C和圆D有交点 ∴
2??2?1（2分）
x2?(y?3)2?2x2?y2整理得：x2?(y?1)2?4设为圆
2?1?a2??(2a?4)?(?1)??2?1（2分）
2解得，a的取值范围为：?0,?12?（1分） ?5??19(12分)甲乙丙丁四个人做传球练习，球首先由甲传出，每个人得到球后都等概率地传给其余三个人之一，设Pn表示经过n次传递后球回到甲手中的概率，求：
1之值 (2)Pn(以n表示之) 31111n?1【簡答】(1) (2)Pn??(?)
4433(1)P2?【詳解】經過一次傳遞後，落在乙丙丁手中的機率分別為
1，而落在甲手中的機率為0，因此P1= 0，31111111兩次傳遞後球落在甲手中的機率為P2= ×+×+×＝（4分）
3333333下面考慮遞推，要想經過n次傳遞後球落在甲的手中，那麼在n－1次傳遞後球一定不在甲
手中，所以Pn＝
1(1－Pn?1), n＝1, 2, 3, 4, …, 因此 31122P3＝(1－P2)＝×＝ ,
33391177P4＝(1－P3)＝×＝ ,
33927112020P5＝(1－P4)＝×＝ ,
332781116161P6＝(1－P5)＝×＝ ,
33812431111∵Pn＝(1－Pn?1) （4分）∴Pn－＝－(Pn?1－)
4433111Pn－＝(P1－)?(?)n?1
443111n?1所以Pn＝－?(?)。（4分）
4431, 而落在甲手中的3【評析】 1.
首先，當球在甲手中時，經過一次傳遞後，落在乙丙丁手中的機率分別為機率為0，根據這個數學性質遞推下去。 2.
先求P1= 0，再思考Pn、Pn?1的關係：
一次傳遞?球在甲手中機率?P?????不可能再傳給甲n-1?在n－1次傳遞後?1 一次傳遞??再傳給甲機率??球不在甲手中機率?(1?Pn-1)???3?因此Pn＝
1(1－Pn?1), n＝1, 2, 3, 4, …，由遞迴數列求出Pn，這是此題的思考過程。 3x20. (13分)已知函数f(x)?b?a（其中a,b为常数且a?0,a?1）的图象经过点A(1,6),B(3,24). （1）试确定f(x)?b?a的解析式（即求a,b的值） （2）若对于任意的x?(??,1],x11()x?()x?m?0恒成立，求m的取值范围； ab（3）若g(x)?cxf(x)(c?0,c为常数），试讨论g(x)在区间（-1,1）上的单调性。
2x(x2?1)20解：（1）由题知6=ba,24=ba3,解得b=3,a=2,即f(x)=3?2x（3分）
(2)()?()?m?0在(??,1]上恒成立，即()?()?m在(??,1]上恒成立，另
12x13x12x13x111x1xh(x)?()x?()x，x?(??,1],即m?h(x)min，（2分）由于h(x)?()?()，x?(??,1]是减
2323函数，故h(x)min?h(1)?（3）g(x)?55，即m?（2分） 663cx，x?(?1,1)，（1分）下证单调性。 x2?13cx13cx23c(x2?x1)(x1x2?1)??，（2分） x12?1x22?1(x12?1)(x22?1)任取?1?x1?x2?1,则g(x1)?g(x2)?由?1?x1?x2?1知
3(x2?x1)(x1x2?1)?0，（1分）故 22(x1?1)(x2?1)3cx，x?(?1,1)单调递减； x2?13cx当c?0时，g(x1)?g(x2)?0即g(x1)?g(x2)，g(x)?2，x?(?1,1)单调递增. （2分）
x?1当c?0时，g(x1)?g(x2)?0即g(x1)?g(x2)，g(x)??3c(x?1)2注意：用导数求也可以，g?(x)?。
(x2?1)2n21．(14分)已知数列{an}满足a0?R，an?1?2?3an,(n?0,1,2,)
（1）设bn?an,试用a0,n表示bn（即求数列{bn}的通项公式） n2（2）求使得数列{an}递增的所有ao的值
an?13an131131（2分）即变形得，???,b??b?,b???(b?),（2分）故n?1nn?1n2n?122n222525113113（1分） bn??(b0?)(?)n，因而，bn??(a0?)(?)n；
552552a113n1n13nn（2）由（1）知n，从而（1分）故 ??(a?)(?)a??2?2(a?)(?)，0n0n2552552（1）
2n4013401an?an?1?[?(a0?)(?)n?1]，（3分）设A??(a0?)，
10352352n31[A(?)n?1]，下面说明a0?，讨论： 则an?an?1?1025若a0?13n，则A<0,此时对充分大的偶数n，[A(?)?1]?0，有an?an?1，这与{an}递增的要求5213n，则A>0,此时对充分大的奇数n，[A(?)?1]?0，有an?an?1，这与{an}递增的要求52不符；（2分） 若a0?不符；（2分）
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