第二课 多精度数值处理
课题：多精度数值的处理 目标：
知识目标：多精度值的加、减、乘、除 能力目标：多精度值的处理，优化！ 重点：多精度的加、减、乘 难点：进位与借位处理 板书示意：
1） 输入两个正整数，求它们的和 2） 输入两个正整数，求它们的差 3） 输入两个正整数，求它们的积 4） 输入两个正整数，求它们的商
授课过程：
所谓多精度值处理，就是在对给定的数据范围，用语言本身提供的数据类型无法直接进行处理（主要指加减乘除运算），而需要采用特殊的处理办法进行。看看下面的例子。 例1 从键盘读入两个正整数，求它们的和。
分析：从键盘读入两个数到两个变量中，然后用赋值语句求它们的和，输出。但是，我们知道，在pascal语言中任何数据类型都有一定的表示范围。而当两个被加数据大时，上述算法显然不能求出精确解，因此我们需要寻求另外一种方法。在读小学时，我们做加法都采用竖式方法，如图1。
这样，我们方便写出两个整数相加的算法。
8 5 6 + 2 5 5 1 1 1 1
A3 A2 A1 + B3 B2 B1 C4 C3 C2 C1
图1 图2
如果我们用数组A、B分别存储加数和被加数，用数组C存储结果。则上例有
A[1]=6, A[2]=5, A[3]=8, B[1]=5,B[2]=5, B[3]=2, C[4]=1,C[3]=1, C[2]=1,C[1]=1,两数相加如图2所示。由上图可以看出： C[i]:= A[i]+B[i];
if C[i]>10 then begin C[i]:= C[i] mod 10; C[i+1]:= C[i+1]+1 end;
因此，算法描述如下：
procedure add(a,b;var c);
{ a,b,c都为数组，a存储被加数，b存储加数，c存储结果 } var i,x:integer; begin i:=1
while (i<=a数组长度>0) or(i<=b数组的长度) do begin
x := a[i] + b[i] + x div 10; {第i位相加并加上次的进位}
1
c[i] := x mod 10; {存储第i位的值} i := i + 1 {位置指针变量}
end end;
通常，读入的两个整数用可用字符串来存储，程序设计如下： program exam1; const
max=200; var
a,b,c:array[1..max] of 0..9; n:string;
lena,lenb,lenc,i,x:integer; begin
write('Input augend:'); readln(n);
lena:=length(n); {加数放入a数组}
for i:=1 to lena do a[lena-i+1]:=ord(n[i])-ord('0'); write('Input addend:'); readln(n);
lenb:=length(n); {被加数放入b数组}
for i:=1 to lenb do b[lenb-i+1]:=ord(n[i])-ord('0'); i:=1;
while (i<=lena) or(i<=lenb) do begin
x := a[i] + b[i] + x div 10; {两数相加，然后加前次进位} c[i] := x mod 10; {保存第i位的值}
i := i + 1 end;
if x>=10 then {处理最高进位}
begin lenc:=i;c[i]:=1 end else lenc:=i-1;
for i:=lenc downto 1 do write(c[i]); {输出结果} writeln end.
例2 高精度减法。
从键盘读入两个正整数，求它们的差。
分析：类似加法，可以用竖式求减法。在做减法运算时，需要注意的是：被减数必须比减数大，同时需要处理借位。 因此，可以写出如下关系式
if a[i] 类似，高精度减法的参考程序： program exam2; const max=200; var 2 a,b,c:array[1..max] of 0..9; n,n1,n2:string; lena,lenb,lenc,i,x:integer; begin write('Input minuend:'); readln(n1); write('Input subtrahend:'); readln(n2); {处理被减数和减数} if (length(n1) n:=n1;n1:=n2;n2:=n; write('-') {n1 lena:=length(n1); lenb:=length(n2); for i:=1 to lena do a[lena-i+1]:=ord(n1[i])-ord('0'); for i:=1 to lenb do b[lenb-i+1]:=ord(n2[i])-ord('0'); i:=1; while (i<=lena) or(i<=lenb) do begin x := a[i] - b[i] + 10 + x; {不考虑大小问题，先往高位借10} c[i] := x mod 10 ; {保存第i位的值} x := x div 10 - 1; {将高位借掉的1减去} i := i + 1 end; lenc:=i; while (c[lenc]=0) and (lenc>1) do dec(lenc); {最高位的0不输出} for i:=lenc downto 1 do write(c[i]); writeln end. 例3 高精度乘法。 从键盘读入两个正整数，求它们的积。 分析：类似加法，可以用竖式求乘法。在做乘法运算时，同样也有进位，同时对每一位进乘法运算时，必须进行错位相加，如图3, 图4。 8 5 6 × 2 5 4 2 8 0 1 7 1 2 A 3 A 2 A 1 × B 3 B 2 B 1 C’4C’3 C’2 C’1 C”5C”4C”3C”2 C 6 C 5 C 4 C 3 C 2 C 1 图4 2 1 4 0 0 图3 分析C数组下标的变化规律，可以写出如下关系式 ’” C i = C i +C i +… 由此可见，C i跟A[i]*B[j]乘积有关，跟上次的进位有关，还跟原C i的值有关，分析下标规律，有 3 x:= A[i]*B[j]+ x DIV 10+ C[i+j-1]; C[i+j-1] := x mod 10; 类似，高精度乘法的参考程序： program exam3; const max=200; var a,b,c:array[1..max] of 0..9; n1,n2:string; lena,lenb,lenc,i,j,x:integer; begin write('Input multiplier:'); readln(n1); write('Input multiplicand:'); readln(n2); lena:=length(n1); lenb:=length(n2); for i:=1 to lena do a[lena-i+1]:=ord(n1[i])-ord('0'); for i:=1 to lenb do b[lenb-i+1]:=ord(n2[i])-ord('0'); for i:=1 to lena do begin x:=0; for j:=1 to lenb do begin {对乘数的每一位进行处理} x := a[i]*b[j] + x div 10 + c[i+j-1]; {当前乘积+上次乘积进位+原数} c[i+j-1] := x mod 10; end; c[i+j]:= x div 10; {进位} end; lenc:=i+j; while (c[lenc]=0) and (lenc>1) do dec(lenc); for i:=lenc downto 1 do write(c[i]); writeln end. 例４ 高精度除法。 从键盘读入两个正整数，求它们的商（做整除）。 分析：做除法时，每一次上商的值都在０～９，每次求得的余数连接以后的若干位得到新的被除数，继续做除法。因此，在做高精度除法时，要涉及到乘法运算和减法运算，还有移位处理。当然，为了程序简洁，可以避免高精度乘法，用0～9次循环减法取代得到商的值。这里，我们讨论一下高精度数除以单精度数的结果，采取的方法是按位相除法。 参考程序： program exam4; const max=200; var a,c:array[1..max] of 0..9; x,b:longint; n1,n2:string; 4 lena:integer; code,i,j:integer; begin write('Input dividend:'); readln(n1); write('Input divisor:'); readln(n2); lena:=length(n1); for i:=1 to lena do a[i] := ord(n1[i]) - ord('0'); val(n2,b,code); {按位相除} x:=0; for i:=1 to lena do begin c[i]:=(x*10+a[i]) div b; x:=(x*10+a[i]) mod b; end; {显示商} j:=1; while (c[j]=0) and (j 实质上，在做两个高精度运算时候，存储高精度数的数组元素可以不仅仅只保留一个数字，而采取保留多位数（例如一个整型或长整型数据等），这样，在做运算（特别是乘法运算）时，可以减少很多操作次数。例如图5就是采用4位保存的除法运算，其他运算也类似。具体程序可以修改上述例题予以解决，程序请读者完成。 5
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