北京陈经纶中学高三数学练习(理十六) 2012.12
解：（I）因为f(x)??1,且f(x)??2， 即g(x)?f(x)?x2?2hx?h在(0,??)是增函数，所以h?0 ……1分 xf(x)hh?x??2hh'(x)?1?(0,??)在不是增函数，而 x2xx2而h(x)?当h(x)是增函数时，有h?0，所以当h(x)不是增函数时，h?0 综上，得h?0 ………………4分
(Ⅱ) 因为f(x)??1，且0?a?b?c?a?b?c 所以
f(a)f(a?b?c)44a?=，所以f(a)?d?， aa?b?ca?b?ca?b?c4b4c，f(c)?t?
a?b?ca?b?c4(a?b?c)?4,
a?b?c同理可证f(b)?d?三式相加得f(a)?f(b)?f(c)?2d?t?所以2d?t?4?0 因为
ddb?a?,所以d()?0, abab以
而0?a?b， 所以d?0 所
d(? ……………8分d
?(Ⅲ) 因为集合：
???f(x)|f(x)??2,且存在常数k,使得任取x?(0,??),f(x)?k?, 所以?f(x)??，存在常数k，使得 f(x)?k 对x?(0,??)成立 我们先证明f(x)?0对x?(0,??)成立
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北京陈经纶中学高三数学练习(理十六) 2012.12
假设?x0?(0,??),使得f(x0)?0， 记
f(x0)?m?0 x02f(x)因为f(x)是二阶比增函数，即2是增函数.
x0所以当x?x0时，x2?x2?m，所以f(x)?mx2
0f(x)f(x) 所以一定可以找到一个x1?x0，使得f(x1)?mx12?k
这与f(x)?k 对x?(0,??)成立矛盾 ………………11分
f(x)?0对x?(0,??)成立
所以?f(x)??，f(x)?0对x?(0,??)成立 下面我们证明f(x)?0在(0,??)上无解 假设存在x2?0，使得f(x2)?0，
f(x)则因为f(x)是二阶增函数，即2是增函数
xf(x3)f(x2)x?x?0一定存在32，x2?x2?0，这与上面证明的结果矛盾
32所以f(x)?0在(0,??)上无解
综上，我们得到?f(x)??，f(x)?0对x?(0,??)成立
所以存在常数M?0，使得?f(x)??，?x?(0,??)，有f(x)?M成立
1xf(x)?1又有2?3在(0,??)上是增函数 ，所以f(x)??，
xx又令f(x)??(x?0)，则f(x)?0对x?(0,??)成立，
而任取常数k?0，总可以找到一个x0?0，使得x?x0时，有f(x)?k 所以M的最小值 为0
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