同济第五版高数习题答案

续.

证明 由题设知, f(x)在x处连续, 故对于任意给定的ε>0, 取δ>0, 当|x?x|<δ时,

0

0

有|f(x)?f(x)|<ε.

0

作(x, y)的邻域U((x, y), δ), 显然当(x, y)∈U((x, y), δ)时, |x?x|<δ, 从而

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0

0

0

0

0

0

|F(x, y)?F(x, y)|=|f(x)?f(x)|<ε,

0

0

0

所以F(x, y)在点(x, y)处连续.

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0

又因为y是任意的, 所以对任意y∈R, F(x, y)在(x, y)处连续.

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0

0

习题8?2

1. 求下列函数的偏导数: (1) z =xy?yx; 解 (2) 解 (3) 解 同理

.

2

3

3

,

,

;

.

.

(4) z=sin(xy)+cos(xy); 解

根据对称性可知 (5)

.

解 ,

(6) z=(1+xy); 解 (7) 解

;

,

,

. . ,

y

.

(8) u=arctan(x?y); 解 2. 设 解 因为 3. 设 解 因为

, 求证

, , , 试证

,

.

. , 所以 , .

, 所以

.

z

4. 设 解 因为

, 求. , 所以

.

5. 曲线 解 故

.

,

在点(2, 4, 5)处的切线与正向x轴所成的倾角是多少？

,

6. 求下列函数的 (1) z=x+y?4xy; 解 (2)

, ,

4

4

22

, , .

; ; .

解 , ;

, ; .

(3) z=y. 解

,

;

x

, ;

.

xx

xz

yz

zzx

7. 设f(x, y, z)=xy+yz+zx, 求f(0, 0, 1), f(1, 0, 2), f(0, ?1, 0)及f(2, 0, 1). 解 因为f=y+2xz, f=2z, f=2x,

xyz

2

2

xxyz

xz

222

f=2xy+z, f=2z, f=2yz+x, f=2y, f=0,

zz

zzx

2

所以 f(0, 0, 1)=2, f(1, 0, 2)=2,

xxyz

xz

f(0, ?1, 0)=0, f(2, 0, 1)=0.

zzx

8. 设z=xln(xy), 求 解

9. 验证: (1)满足 证明 因为 所以 (2)

.

满足

.

,

,

,

, ,

及 , ,

. .

;

,