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（3）S正方形=边长2= 2 ×对角线2。 二、正方形的判定方法。用定义也可判定。 1、有一个角是直角的菱形是正方形； 2、有一组邻边相等的矩形是正方形； 3、对角线相等的菱形是正方形； 4、对角线互相垂直的矩形值正方形
第20章 数据的整理与初步处理
§20.1平均数
一、算术平均数的意义
1、定义：一般地，我们把n个数x1,x2,?xn的和与n的比叫做这n个数的算 术平均数，简称平均数，记作：x，读作x拔。 具体算法：x=
1(x1?x2???xn)n2、平均数的简化运算
当一组数据非常大或非常小，并且有集中在某个数字之间左右晃动时，看采用此方法简化运算： 对于一组数据x1,x2,?xn，取定一个常数a，把原来数组中的每一个数都减去
1'''??,x?2,?xna后得到一组新数据x1，则原数组的平均数就是：x=a+ n (x1 + x2 + xn )
3、作用：平均数反映了一组数据的集中趋势，是表示一组数据的“平均水平”，它的单位与这组数据的单位一致。 4、用样本（部分）估计总体
当一组数据的个图非常多或很难获得全部数据时，可以从这些数据中抽出部分个体作为样本进行分析、统计，由此估计总体的特征或信息。 二、加权平均数
1、定义和算法：一般说来，如果n个数据中，x1出现f1次，x2出现f2次，?xk出现fk次，且 f1 + f2 +? +fk =n，则这n个数的平均数可表示为x=
x1f1?x2f2???xkfkf1?f2???fk这个x叫做加权平均数，数据出现的次数f叫做权，数组中的每个数对应一个权。
§20.2 数据的集中趋势
一、中位数
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1、定义：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列后，处在最中间位置的的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
2、求法：（1）对这组数据的n个数进行从小到大的排序；
n+1
（2）若给出的数据个数为奇数，则第（2 ）个数据就是这组数据的中位数；若给出的数据
1n+1
个数为偶数个，则第n 个和第（2 ）个的平均数就是这组数据的中位数。 二、众数
1、定义：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。
2、众数是对各数据出现的频率的考察，其大小只与这组数据中部分数据有关，当一组数据中有数据多次重复出现时，以至于其他数据的作用显得相对较小，众数就可以在某种意义上代表这组数据的集中程度或整体情况。
3、一组数据可以有不止一个众数，也可以没有众数。如果一组数据中有几个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这几个数据都是这组数据的众数。 三、平均数、中位数和众数的选用
平均数、中位数和众数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，但描述的角度和使用范围有所不同：
（1）平均数大小与一组数据里每个数据均有关系，其中任何数据的变动都会相应地引起平均数的变动，所以它极易受个别极端数的影响；
（2）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响。中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中，当一组数据中个别数据变动较大时，可以用它来描述其集中趋势；
（3）众数考察各数据出现的频率，其大小只与这组数据中部分数据有关，众数往往是人们尤为关心的一个量，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题。 （4）在实际问题中求得的平均数、众数和中位数都应带上单位。
§20.3 数据的离散程度
一、极差
1、定义：用一组数据中最大值减去最小值所得到的差来反映这组数据的变化范围的差称为极差，即：极差=最大值-最小值。
2、极差的特征：极差能反映数据的变化范围，是最简单的一种度量数据波动情况的量，但它受极端数据的影响较大。 二、方差
1、定义：用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果通常称为方差。
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2、算法：通常用S 2表示一组数据的方差，用x表示一组数据的平均数，x1、x2、?xn表示各个 数据，方差的计算式就是：S2= 3、方差的特征：
方差反映的了数据的波动大小，用于判定一组数据的稳定性。在实际问题中，例如长得是否整齐、是否稳定等都是波动的体现。方差越大，数据的波动就越大，就越不稳定；方差越小，数据的波动则越小，越稳定。 三、标准差
1、意义：就是方差的算数平方根，叫做标准差。 2、算法与方差同，只是要把方差开方求算数平方根。
3、标准差的特征：它与方差一样，也是反映一组数据的整体波动的指标。样本的方差或样本的标准差越大，样本的数据波动就越大，反之亦然。
1(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2n??15
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