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第四节 变量间的相关关系与统计案例
☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆
考纲要求 1.会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系； 2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程； 3.了解独立性检验(只要求2×2列联2016，全国卷Ⅲ，18,12分(线性回归分析) 2015，全国卷Ⅰ，19,12分(线性回归分析) 2015，福建卷，4,5分(线性回归分析) 真题举例 命题角度 1.以选择题、填空题的形式考查求线性回归系数或利用线性回归方程进行预测，在给出临界值的情况下判断两个变量是否有关； 2.在解答题中与频率分布结合考查线性回归方程的建立及应用和独立性检验的应用。 表)的基本思想、方法及其简单应用； 2014，安徽卷，18,12分(独4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用。 微知识 小题练 自|主|排|查 1．两个变量的线性相关 (1)正相关
立性检验) 在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关。
(2)负相关
在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为负相关。
(3)线性相关关系、回归直线
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。
2．回归方程 (1)最小二乘法
唐玲
使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法。 (2)回归方程
^^^
方程y＝bx＋a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，
yn)的回归方程，其中a ，b 是待定参数。
∑ x－xy－y?^b＝
∑ x－x?
^
a＝y－bx。?^
i＝1
iin2
^^
nni＝1
n——
∑xiyi－nxy2∑xi－nxi＝1
2
＝。
i＝1
i
3．回归分析
(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。 (2)样本点的中心
对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中(x，y)称为样本点的中心。
(3)相关系数
当r>0时，表明两个变量正相关； 当r<0时，表明两个变量负相关。
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强。r的绝对值越接近于0，表明
两个变量之间几乎不存在线性相关关系。通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性。
4．独立性检验
(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量。 (2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为
2×2列联表
x1 x2 总计 y1 a c a＋c y2 b d b＋d nad－bc2c＋da＋c总计 a＋b c＋d a＋b＋c＋d 构造一个随机变量K2＝a＋b 本容量。
(3)独立性检验
唐玲
b＋d，其中n＝a＋b＋c＋d为样
利用随机变量K来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验。
微点提醒
－－
1．回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(x，y)点，可能所有的样本数据点都不在直线上。
2．利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为是准确值，而实质上是预测值(期望值)。
3．K2越大，“X与Y有关联”的把握程度越大。
小|题|快|练
一 、走进教材
1．(必修3P94A组T3改编)相关变量x，y的样本数据如下表：
2
^
经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为y＝1.1x＋a，则a＝( )
A．0.1 C．0.3
B．0.2 D．0.4
－－－－
【解析】 x＝3，y＝3.6，又回归直线经过样本中心点(x，y)，所以3.6＝1.1×3＋a，解得a＝0.3。故选C。
【答案】 C
2．(选修1－2P16习题1.2T1改编)为考察某种药物预防疾病的效果，对100只某种动物进行试验，得到如下的列联表：
患病 未患病 合计 服用药 10 40 50 没服用药 合计 20 30 30 70 50 100 经计算，统计量K2≈4.762，则有________把握认为药物有效(P(K2≥3.841)＝0.05，唐玲
P(K2≥5.024＝0.025)( )
A．99.5% C．99%
B．95% D．97.5%
【解析】 由K2≈4.762>3.841，可知有95%的把握，认为药物有效。故选B。 【答案】 B 二、双基查验 1．观察下列各图：
其中两个变量x，y具有相关关系的图是( ) A．①② C．③④
【解析】 由散点图知③④具有相关关系。故选C。 【答案】 C
2．(2016·葫芦岛模拟)某商品销售量Y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归直线方程可能是( )
^
A.y＝－10x＋200 ^
C.y＝－10x－200
^
B.y＝10x＋200 ^
D.y＝10x－200 B．①④ D．②③
^
【解析】 因为商品销售量Y(件)与销售价格x(元/件)负相关，所以b<0，排除B、D。又因为x＝0时，y>0，所以应选A。
【答案】 A
^
3．已知x，y的取值如下表，从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为y＝0.95x＋a，则a＝( )
唐玲
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