向心加速度
【教材分析】
1． 匀速圆周运动的加速度方向； 2． 向心加速度的大小。
【教学目标】
1．理解向心加速度的概念。
2．知道向心加速度和线速度、角速度的关系式。 3．能够运用向心加速度公式求解有关问题。
【核心素养】
物理观念：建立向心加速度的方向和大小的方法微元法的物理观念。
科学思维：培养学生思维能力和分析问题的能力，培养学生探究问题的热情，乐于学习的品质。
科学探究：体验向心加速度的导出过程，领会推导过程中用到的数学方法。
科学态度与责任：通过向心加速度的方向及公式的学习，培养学生认识未知世界要有敢于猜想的勇气和严谨的科学态度。
【教学重点】
1．理解匀速圆周运动中加速度的产生原因，掌握向心加速度的确定方法和计算公式。 2．向心加速度方向的确定过程和向心加速度公式的推导与应用。
【教学难点】
向心加速度方向的确定过程和向心加速度公式的推导与应用
【教学过程】
教学环节 教师活动 学生活动 回忆做曲线运动的物体速度一定是变化的，因此一定存在设计意图 为引出本节课题做圆周运动的物体，加速度的大小和方向做铺垫。 导入新课 做曲线运动的物体速度一定是变化的，因此做曲线运动的物体，一定有加速度，圆周运动是曲线运动，那么做圆周运动的物体，加速度的大小和方向如何确定呢？ ——这就是我们今天要研究的课题。 加速度。 讲授新课 一、匀速圆周运动的向心加速度及其方向 理解向心加速度的方向。 1．向心加速度的方向：总是指向圆心， 方向时刻改变，方向总是与速度方向垂直。 物体做匀速圆周运动时，合力的方向总是指向圆心，根据牛顿第二定律，物体运动 的加速度方向与它所受合力的方向相同，即： 物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心。 观察图片说出向心加速度的方向。 物体做匀速圆周运动时，合力的方向总是指向圆心，根据牛顿第二定律，物体运动的加速度方向与它所受合力的方向相同，即：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心。 2．向心加速度：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫做向心加速度。 3．向心加速度的作用只改变速度的方向，对速度的大小无影响。 注意：无论an的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动 思考讨论1：变速圆周运动的加速度和向心加速度有什么关系？ 学生思考讨论 理解做变速圆周运动的物体，加速度并不指向圆心，切向加速度改变速度的大小。 做变速圆周运动的物体，加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量： 一是向心加速度； 二是切向加速度，切向加速度改变速度的大小。因此一般情况下，物体做圆周运动的加速度方向不一定指向圆心。 思考讨论2：匀速圆周运动的加速度和向心加速度有什么关系？匀速圆周运动是否为匀变速运动？ 匀速圆周运动的加速度和向心加速度含义相同。由于匀速圆周运动的加速度始终指向圆心，其大小不变，但方向时刻在改变，所以匀速圆周运动不是匀变速运动。 思考讨论3：向心加速度与合加速度之间有什么关系？ 对于匀速圆周运动而言，物体的加速度 学生思考讨论问题2 学生思考讨论问题3 理解匀速圆周运动加速度和向心加速度相同，方向时刻在改变 理解向心加速度与合加速度之间的关系。 理解向心加速度是描述速度方向改变快慢的物理量。 即为向心加速度，因此其方向一定指向圆心； 物体做变速圆周运动时，合加速度必有一个沿切线方向的分量和指向圆心方向的分量，其指向圆心方向的分量就是向心加速度。对于非匀速圆周运动，沿切线方向的加速度改变线速度的大小。 4．向心加速度的物理意义 思考讨论：向心加速度是从哪个角度描述速度变化快慢的？说明理由？ 因为向心加速度的方向总指向圆心，与 思考讨论向心加速度的物理意义 速度方向垂直，所以向心加速度只改变速度方向，不改变速度大小，因此向心加速度是描述速度方向改变快慢的物理量，向心加速度大，即速度方向改变得快。 二、向心加速度的大小 1．向心加速度表达式 思考讨论：由向心力的表达式，你能推导出向心加速度表达式吗？ v2由向心力：Fn=m或Fn=mrω2 R 学生由向心力的表达式推导出向心加速度表达式 推导出向心加速度的各 锻炼学生的推导能力 锻炼学生的逻辑思维能力。 根据牛顿第二定律F＝ma，得 v2an=或an=rω2 r注意：向心加速度的公式适用于任何圆周运动。 2．向心加速度的各种表达式 由匀速圆周运动向心加速度的基本公式，结合各物理量间的关系，你能推导出匀速圆周运动向心加速度的几种表达形式？ v22由an=rωan=v=ωr r种表达式。 学生思考与 理解公式 an＝v2/r和 an＝ω2r的含义。 ω=2π/T=2πf=2πn得 2?2an=vωan=（）ran=（2πf）2r Tan=（2πn）2r 思考与讨论：从公式an＝v2/r看，线速度讨论 一定时，向心加速度与圆周运动的半径成反 比；从公式an＝ω2r看，角速度一定时，向心 加速度与半径成正比。 自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径 不一样，它们的边缘有三个点A、B、C，如 图所示。其中哪两点向心加速度的关系适用 锻炼学生的分析计算能力 于“向心加速度与半径成正比”，哪两点适用 于“向心加速度与半径成反比”？给出解释。 B、C两点在同一轮上，同轴传动时，这两点的角速度相同，由公式 an＝ωr知ω一定时，向心加速度与半径成正比。 A、B两点在同一个链条上，两点的线速度大小相同，由an＝v/r知v一定时，向心加速度与半径成反比。 【例题】如图所示，在长为l的细绳下端拴一个质量为m的小球，捏住绳子的上端，使小球在水平面内做圆周运动，细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆。当绳子跟竖直方向的夹角为θ时，小球运动的向心加速度an的大小为多少？ 通过计算说明：要增大夹角θ，应该增大小球运动的角速度ω。 22 在教师的引导下分析计算 分析由于小球在水平面内做圆周运动，向心加速度的方向始终指向圆心。可以根据受力分析，求出向心力的大小，进而求出向心加速度的大小。根据向心加速度公式，分析小球做圆周运动的角速度ω与夹角θ之间的关系。 解：根据对小球的受力分析，可得小球的向心力Fn＝mgtanθ 根据牛顿第二定律可得小球运动的向心加速度： an＝Fn/m＝gtanθ（1） 根据几何关系可知小球做圆周运动的半径 r＝lsinθ（2） 入（1）式，可得cosθ＝g/lω2 锻炼学生的自主学习能力，体验向心加速度的导出过程，领会推导过程中用到的数学方法。 把向心加速度公式an＝ω2r和（2）式代 从此式可以看出，当小球运动的角速度 增大时，夹角也随之增大。因此，要增大夹 角θ，应该增大小球运动的角速度ω。 拓展学习推导向心加速度公式 用运动学的方法求做匀速圆周运动物体的向心加速度的方向与大小。 1．向心加速度的方向 学生阅读课文 理解用运动学的方法求做匀速圆周运动物体的 （1）一物体沿着圆周运动，在A、B两点的速度分别为vA、vB，画出物体经过A、B两点时的速度方向。 （2）平移vA至B点，根据矢量运算法则，做出物体由A点到B点的速度变化量Δv。 向心加速度的方向与大小。 由于物体做匀速圆周运动，vA、vB的大 小相等，所以，Δv与vA、vB构成等腰三角形。 （3）假设由A点到B点的时间逐渐减小直到极短，在匀速圆周运动的速度大小一 定的情况下，A点到B点的距离将非常小， 作出此时的Δv。 Δv逐渐趋向于平行OA A点到B点的时间极短时，Δv与vA、vB都几乎垂直，因此Δv的方向几乎沿着圆周的半径，指向圆心。由于加速度a与Δv的方向是一致的，所以从运动学角度分析也可以发现：物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。 2．向心加速度的大小 推导向心加速度公式 由图可知，当Δt足够小时，vA、vB的夹角θ就足够小，θ角所对的弦和弧的长度就 近似相等。因此，θ＝v\\Δv，在Δt时间内， 巩固本节知识 速度方向变化的角度θ＝ωΔt。由此可以求得： Δv＝vωΔt 将此式代入加速度定义式a＝Δv\\Δt，并把v＝ωr代入，可以导出向心加速度大小的表达式为 an＝ω2r 上式也可以写成an＝v2/r 它与根据牛顿第二定律得到的结果是一致的。 课堂练习 1．质量相等的A、B两质点分别做匀速 圆周运动，若在相等的时间内通过的弧长之 比为2：3，而转过角度之比为3：2，则A、学生练习 B两质点周期之比为——————，向心加速度之比为——————。 答案：2：3；1：1 2．一物体在水平面内沿半径R=20cm的 圆形轨道做匀速圆周运动，线速度v=0.2m/s，那么，它的向心加速度为0.2m/s2，它的角速度为_______rad/s，它的周期为_______s。 答案：1；2π 3．关于向心加速度的说法正确的是（ ） A．向心加速度越大，物体速率变化越快 B．向心加速度的大小与轨道半径成反比 C．向心加速度的方向始终与速度方向垂直 D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量 答案：C 4．A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动（如图），在相同的时间内，它们通过的路程之比是4：3，运动方向改变的角度之比是3：2，则它们（ ） A．线速度大小之比为3：4 B．角速度大小之比为3：4 C．圆周运动的半径之比为8：9 D．向心加速度大小之比为1：2 答案：C 5．转笔是一项深受广大中学生喜爱的休闲活动，其中也包含了许多的物理知识。假设某同学将笔套套在笔杆的一端，在转笔时让笔杆绕其手指上的某一点O在竖直平面内做匀速圆周运动，则下列叙述中正确的是（ ） A．笔套做圆周运动的向心力是由笔杆对其的摩擦力提供的 B．笔杆上离O点越近的点，做圆周运动的向心加速度越大 C．当笔杆快速转动时笔套有可能被甩走 D．由于匀速转动，笔套受到的摩擦力大小不变 答案：C 拓展提高 1．两架飞机在空中沿水平面上做匀速圆周运动，在相同的时间内，它们通过的路径之比为2：3，运动方向改变的角度之比为4：3．它们的向心加速度之比为多少（ ） A．2：3 B．8：9 C．2：1 D．1：2 答案：B 2．如图所示皮带传动轮，大轮直径是小轮直径的3倍，A是大轮边缘上一点，B是小轮边缘上一点，C是大轮上一点，C到圆心O的距离等于小轮半径，转动时皮带不打滑。则A、B、C三点的角速度大小之比，线速度大小之比，向心加速度大小之比分别为（ ） A．ωA：ωB：ωC=1：3：3 B．vA：vB：vC=3：3：1 C．aA：aB：aC=3：6：1 D．aA：aB：aC=1：9：3 答案：B 3．下列关于匀速圆周运动的说法中，正确的是（ ） A．因为向心加速度大小不变，故是匀变速运动 B．由于向心加速度的方向变化，故是变加速运动 C．用线系着的物体在光滑水平面上做匀速圆周运动，线断后。物体受到离心力作用，而背离圆心运动 D．向心力和离心力一定是一对作用力和反作用力 答案：B 课堂小结 1．做匀速圆周运动的物体，其向心加速梳理自己本根据学生表述，度的方向沿半径指向圆心，方向时刻变化，匀速圆周运动为变加速曲线运动。 2．向心加速度只改变做圆周运动的物体的速度方向，而切向加速度改变做圆周运动的物体的速度大小。 v2an=an=rω2 r节所学知识进行交流 查漏补缺，并有针对性地进行讲解补充。 an=（2?2）ran=（2πf）2r T3．向心加速度意义：描述速度方向变化的快慢的物理量。 板书 一、匀速圆周运动的向心加速度及其方向 1．方向：总指向圆心，方向时刻改变，方向总是与速度方向垂直。 2．向心加速度：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫做向心加速度。 3．物理意义：向心加速度是描述速度方向改变快慢的物理量。 二、向心加速度的大小 v2an=an=rω2 r an=（
2?2）ran=（2πf）2r T
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