第一篇 力学
多少?（假设人可视为质点）
分析：首先将人与物视为一系统，在人用与水平线成?角的速度向前跳去过程中，系统在水平方向的速度始终保持不变，当人达到最高点时，在向后抛出物体的过程中，系统在水平方向不受外力，于是利用系统在水平方向动量守恒求出人向后抛出物体时人的水平速率。
解：如3-7题图所示，把人与物视为一系统，当人跳跃到最高点时，在向后抛出物体的过程中，系统在水平方向动量守恒，故有
?M?m??0cos??M??m? ????式中?为人抛出物体后相对地面的水平速率，???为抛出物对地面的水平速率，得
?? ???0cosm?
M?m人的水平速率的增量为
??????0cos??m?
M?m而人从最高点到地面的运动时间为 t??0sin?g
所以，人由于向后抛出物体，在水平方向上增加的距离为
?x????t?m?0sin??
?M?m?g13t?2?m?的规律作直线运动，求当物体由x1?2m运动23-8 一质量为m＝2kg的物体按x?到x2?6m时，外力做的功。
分析：由于物体按x?13t?2?m?的规律作直线运动，对其求一阶导数可得物体在任意时刻的2速度，再带入已知条件可得外力作用前后物体的速度或动能的增量，最后利用质点的动能定理求出外力做的功。
解：由x?13dx32t?2，可得 ???t 2dt2当物体在x1?2m处时，可得其时间、速度分别为
2?13t1?2 t1?0?s? 232?1??02?0?m?s?1? （1）
当物体在x2?6m处时，可得其时间、速度分别为
6?13t2?2 t2?2?s? 232?2??22?6?m?s?1? （2）
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第一篇 力学
根据质点的动能定理得外力做的功 W?112m?2?m?12?36?J? 2223-9 如图3-52所示，求把水从面积为50m的地下室中抽到街道上来所需做的功。已知水深为1.5m，水面至街道的距离为5m。
分析：取微元质量的水作为研究对象，先求出将这部分水抽到街道上来所需做的元功,则通过积分方法求出将地下室中深为1.5m的水抽到街道上来所需做的总功。
解：设h0、h1分别表示水面至街道的距离、水深，建立如图3-52所示坐标，在距离O点为y处取面积为50m、高度为dy的水作为研究对象，将这部分水抽到街道上来所需做的元功
2dW=ρsdy.gh，
则将地下室中的所有水抽到街道上来所需做的总功为 Wh0?h1??h0?sghdh
? ?1?gsh12?2h1h0 2??1?1.0?103?9.8?50?1.52?2?5?1.5 2?? ?4.23?106?J?
3-10 如图3-53所示，一个质量M＝2kg的物体，从静止开始，沿着
?11的圆周从A滑到B，在B4处时速度的大小是6m?s。已知圆的半径R＝4m，求物体从A到B的过程中，摩擦力所做的功。
分析：以物体和地球为一系统，物体在下滑过程中，有重力做功和摩擦力做功，由功能原理可得摩擦力所做的功。
解：以物体和地球为一系统，由功能原理可得摩擦力所做的功为 Wf?(0?1m?2)?mgR 2 Wf??mgR?1m?2??42.4?J? 23-11最初处于静止的质点受到外力的作用，该力的冲量为4.00N?s，在同一时间间隔内，该力所做的功为2.00J，问该质点质量是多少？
分析：本题可根据质点的动量定理和质点的动能定理列方程，再联解此两式就可得该质点的质量。
解：设质点末动量为p，末动能为Ek，由于质点最初处于静止状态，因此，初动量p0?0，初动能Ek0?0，根据质点的动量定理和质点的动能定理有
I??p?p?p0?p
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第一篇 力学
W??Ek?Ek?Ek0?Ek
12p2I2?而 Ek?m??
22m2mI2I2所以 m???4.00kg
2Ek2W3-12 如图3-54所示，A球的质量为m，以速度u飞行，与一静止的小球B碰撞后，A球的速度变为?1，其方向与u方向成90，B球的质量为5m，它被撞后以速度?2飞行，?2的方向与u成? (??arcsin03)角。求： 5(1)求两小球相撞后速度?1、?2的大小； (2)求碰撞前后两小球动能的变化。
分析：取A球和B球为一系统，在碰撞过程中系统所受合外力为零，于是在水平方向和竖直方向分别应用动量守恒定律得到两小球相撞后的速度，另外确定两小球碰撞前后动能，则可得碰撞前后两小球动能的变化。
解：（1）取A球和B球为一系统，在碰撞过程中系统所受合外力为零，由动量守恒定律得 水平方向： mu?5m?2cos? （1） 竖直方向： 0?5m?2sin??m?1 （2） 联解（1）、（2）式，可得两小球相撞后速度大小分别为 ?1? ?2?3u 41u 42（2）碰撞前后两小球动能的变化为
1?3u?127 ?EKA?m??mu??mu2 ?2?4?232?EKB15?u???5m????0?mu2 232?4??123-13 一质量为10g、速度为200m?s的子弹水平地射入铅直的墙壁内0.04m后而停止运动，若墙壁的阻力是一恒量，求墙壁对子弹的作用力。
分析：以子弹作为研究对象，子弹在水平地射入铅直的墙壁过程中，在水平方向上只受墙壁的阻力作用，故可根据质点的动能定理可得墙壁对子弹的作用力。
解：以子弹作为研究对象，子弹水平地射入铅直的墙壁过程中，根据质点的动能定理可得墙壁对子弹的作用力：
?x0f?dr?1212mυ?mυ0 22 fx?0?12m?0 215
第一篇 力学
2m?0??5?103?N? f??2x3-14一质量为m的质点在x-y平面内运动，其位置矢量为r=acosωti+bsinωtj，其中a，b和?均是正常数 试证明该质点对于坐标原点角动量守恒。
分析：由已知的位置矢量，对其求二阶导数可得质点所受加速度，从而得到质点所受合力，再判断质点所受的对于坐标原点的合外力矩是否为零，若为零，则该质点对于坐标原点角动量守恒。
证明：由r=acosωti+bsinωtj可得 υ=dr=-aωsinωti+bωcosωtj dtdυ=m?-aω2cosωti-bω2sinωtj? dtF=ma=m22?F=m?-ωacosωti+sinωtj=-mωr ????即质点在运动过程中，只受向心力作用，且向心力对坐标原点的力矩为零，所以该质点对于坐标原点角动量守恒。
3-15 如图3-55所示，在光滑的水平面上有—木杆，其质量m1?1.0kg，长l?40cm，可绕通过其中点并与之垂直的轴转动。一质量为m2?10g的子弹，以??2?10m?s的速度射入杆端，其方向与杆及轴正交。若子弹陷入杆中，试求所得到的角速度。
分析：以子弹和木杆为一系统，子弹在射入杆端的过程中，系统所受合外力矩为零，则根据角动量守恒定律可得子弹陷入杆中整个刚体所获得的角速度。
解：设?表示子弹陷入杆后杆的角速度，以子弹和木杆为一系统，根据角动量守恒定律
m2?
2?1l?1l???m1l2?m2()2?? 2?122???6m2??29.1?rad?s?1?
?m1?3m2?l23-16 一质量为20.0kg的小孩，站在一半径为3.00m、转动惯量为450kg?m的静止水平转台的边缘上，此转台可绕通过转台中心的竖直轴转动，转台与轴间的摩擦不计。如果此小孩相对转台以1.00m?s的速率沿转台边缘行走，问转台的角速度有多大?
分析：以小孩和转台为一系统，小孩沿转台边缘行走过程中，系统所受合外力矩为零，则根据角动量守恒定律，同时将转台和小孩的角速度统一为对地的角速度，则可得转台的角速率。
解：取?0、?1、?分别表示转台相对地面的角速度、小孩相对转台的角速度、小孩相对地面的角速度，由相对角速度的关系，小孩相对地面的角速度为
???0??1??0??1?R
以小孩和转台为一系统，由于系统初始是静止的，根据角动量守恒定律，有 J0?0?J1??0??1??0
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