数学分析第二学期考试题
一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题4分，
共32分）
1、 函数f(x)在[a,b]上可积的必要条件是（ b ） A、连续 B、有界 C 、无间断点 D、有原函数 2、函数f(x)是奇函数，且在[-a,a]上可积，则（ b ） A、C、
??a?aaf(x)dx?2?a0f(x)dx B、
a0?a?aaf(x)dx?0
?af(x)dx??2?f(x)dx D、?f(x)dx?2f(a)
?a3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ a ） A、
?11x?0dx B、 ???1x1dx C、 ?sinxdx D 、?0??1dx ?1x314、级数
?an?1n收敛是
?an?1?n部分和有界且liman?0的（ c ）
n??A 、充分条件 B、必要条件 C、充分必要条件 D 、无关条件 5、下列各积分中可以直接运用牛顿-莱布尼兹公式求值的是（ a ） A、
C、
??101arcsinxdx B、?1?11dx xlnxe1sinx1dx dx D、?02x1?xe6、下面结论错误的是（ b ）
A、若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上必有界； B、若f(x)在(a,b)内连续，则
?baf(x)dx 存在；
f(x)[a,b]C、 若f(x)在[a,b]上可积，则在上必可积；
D、 若f(x)在[a,b]上单调有界，则f(x)在[a,b]上必可积。 7、下列命题正确的是（ d ） A、
?an?1??n(x)在[a，b]绝对收敛必一致收敛
B、
?an?1n(x)在[a，b] 一致收敛必绝对收敛
C、 若lim|an(x)|?0，则
n???an?1?n(x)在[a，b]必绝对收敛
D、
?an?1??n(x)在[a，b] 条件收敛必收敛
1x2n?1的和函数为（ c ） 2n?1
8、
n(?1)?n?0xA、e B、sinx C、ln(1?x) D、cosx 二、计算题：（每小题7分，共28分）
9、
?91f(x)dx?4，求?xf(2x2?1)dx。
0210、计算
???01dx。 22?2x?x?1n(?1)n11、计算?x的和函数，并求?。
nn?1nn?112、计算
dx?sin2xcos2x
?三、讨论题与应用：（每小题10分，共20分）
13、讨论
?(?1)n?2n?12nsin2nx的敛散性 n2214、抛物线y?2x把圆x?y?8分成两部分，求这两部分面积之比。 四、证明题：（每小题10分，共20分）
15、设f(x)是以T为周期的函数，且在[0，T]上可积，证明
2?a?Taf(x)dx??f(x)dx0T
16、设f(x)在[a，b]连续，证明
???0xf(sinx)dx??2?0?f(sinx)dx，并求
?
0xsinxdx
1?cos2x
参考答案
一、1、B 2、B3、A4、C5、C6、D7、D8、C9、C10、C 二、1、
?20xf(2x2?1)dx?12222f(2x?1)d(2x?1)u?2x?1，（3分）令?02?2019xf(2x?1)dx??f(u)du?2（3分）
2122、
??0AA11?dx=（6分） limd(1?x)?limarctan(1?x)?01?(1?x)2A???A??02?2x?x24??1n1'3、解：令f(x)=?x，由于级数的收敛域[?1,1)（2分），f(x)=?xn?1?，
n1?xn?1n?1?1(?1)ndt?ln(1?x)（2分）f(x)=?，令x??1，得??ln2 01?tnn?1x4、解：两边对x求导3z2zx?2z?2xzx?0（3分）zx?（1分）
2z?z（2分）?23z2?2x?x(1,1,1)x2yx2y?0（1分） 5、解：0?|2|?x（5分）lim2x?0x2?y2x?yy?0由于x=-2，x=2时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3分）
?x4?4x2y2?y2?y三、1、解、fx(x,y)??(x2?y2)2?0??x4?4x2y2?y2?xfy(x,y)??(x2?y2)2?0?x2?y2?0x2?y2?0x2?y2?0x2?y2?0（2分）
(4分）
f(0,?y)?fx(0,0)?2z(0,0)?limx??1
?y?0?y?x?yfy(?x,0)?fy(0,0)?2z(0,0)?lim?1（6分）
?x?0?x?y?x2、解：由于limn|(?1)n??n?12nsin2nx2，即2sinx?1级数绝对收敛|?2sin2x（3分）
n2sin2x?1条件收敛，2sin2x?1级数发散（7分）
所以原级数发散（2分）
四、证明题（每小题10分，共20分）
1、证明：因为f1(x)在[a，b]上可积，故在[a，b]上有界，即?M?0，使得（3分）从而f2(x)??|f1(t)|dt?M(x?a)一般来说，f1(x)?M(?x?[a,b])，
axM(x?a)n?1M(b?a)n?1若对n有fn(x)?（5分）则fn(x)?(n??)，所以
(n?1)!(n?1)!{fn(x)}在[a，b]上一致收敛于0（2分）
?a?TT（4分） f(x)dxx?T?t?f(t?T)d(t?T)??f(t)dt（2）
00aa将式（2）代入（1）得证（2分）
x?z?z1x?z1?z2、 （7分）则x ?y?xey?yey2?0（3分）?ey，??ey2，
?yy?xy?x?yyy3、 证明：令x???t
?0xxxx?0xf(sinx)dx???(??t)f(sin(??t))dt???f(sint)dt??tf(sint)dt得证（7
?00??分）
??0xsinx??sinx?2dx??dx?（3分） 22021?cosx81?cosx
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