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解答:因为对任意的n?N,点(n,Sn)，均在函数y?bx?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的图像上.所以得Sn?bn?r, 当n?1时,a1?S1?b?r,
当n?2时,an?Sn?Sn?1?bn?r?(bn?1?r)?bn?bn?1?(b?1)bn?1, 又因为{an}为等比数列, 所以r??1, 公比为b, 所以an?(b?1)bn?1 （2）当b=2时，an?(b?1)bn?1?2n?1, bn?则Tn?n?1n?1n?1 ??4an4?2n?12n?1234n?1????? 234n?122221234nn?1Tn??????? 22324252n?12n?2121111n?1相减,得Tn?2?3?4?5???n?1?n?2
222222211?(1?)n?11n?1123n?132 ??n?2??n?1?n?2
1422221?231n?13n?3所以Tn??n?n?1??n?1
22222
9.(广东省广州市2010届第二次调研数学试题（理科）
.设函数f?x??x?aIn?1?x?有两个极值点x1、x2，且x1?x2
2（I）求a的取值范围，并讨论f?x?的单调性； （II）证明：f?x2??1?2In24a2x2?2x?a?(x??1) 解答: （I）f??x??2x?1?x1?x 令g(x)?2x?2x?a，其对称轴为x??21。由题意知x1、x2是方程g(x)?0的两个2均大于?1的不相等的实根，其充要条件为????4?8a?01，得0?a?
2?g(?1)?a?0
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⑴当x?(?1,x1)时，f??x??0,?f(x)在(?1,x1)内为增函数； ⑵当x?(x1,x2)时，f??x??0,?f(x)在(x1,x2)内为减函数； ⑶当x?(x2,??)时，f??x??0,?f(x)在(x2,??)内为增函数； （II）由（I）g(0)?a?0,??1?x2?0，a??(2x22+2x2) 2?f?x2??x22?aln?1?x2??x22?(2x22+2x2)ln?1?x2?
设h?x??x?(2x?2x)ln?1?x?(x??)，
2212则h??x??2x?2(2x?1)ln?1?x??2x??2(2x?1)ln?1?x? ⑴当x?(?11,0)时，h??x??0,?h(x)在[?,0)单调递增； 22⑵当x?(0,??)时，h??x??0，h(x)在(0,??)单调递减。
111?2ln2?当x?(?,0)时,h?x??h(?)?
2241?2In2故f?x2??h(x2)?．
4w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
10(湖北黄冈中学2010届8月份月考数学试题（理科）已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，且
f(1)?1，若任意的a、b?[?1,1]，当a?b?0时，总有
f(a)?f(b)?0．
a?b（1）判断函数f(x)在[-1,1]上的单调性，并证明你的结论； （2）解不等式：f(x?1)?f(1)； x?1（3）若f(x)≤m2?2pm?1对所有的x?[?1,1]恒成立，其中p?[?1,1]（p是常数），求实数m的取值范围．
解答（1）f(x)在??1,1?上是增函数，证明如下： 任取x1、x2???1,1?，且x1?x2，则x1?x2?0，于是有
f(x1)?f(x2)f(x1)?f(?x2)??0，
x1?x2x1?(?x2)而x1?x2?0，故f(x1)?f(x2)，故f(x)在??1,1?上是增函数； （2）由f(x)在??1,1?上是增函数知：
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???1≤x?1≤1??2≤x≤0??1?≤1??x≥2,或x≤0??2≤x??2， ??1≤x?1???x??2,或1?x?2?1x?1??x?1?故不等式的解集为x?2≤x??2．
（3）由（1）知f(x)最大值为f(1)?1，所以要使f(x)≤m2?2pm?1对所有的x?[?1,1]恒成立，只需1≤m2?2pm?1成立，即m(m?2p)≥0成立． ①当p?[?1,0)时，m的取值范围为(??,2p]?[0,??)； ②当p?(0,1]时，m的取值范围为(??,0]?[2p,??)； ③当p?0时，m的取值范围为R． w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
11.(湖北黄冈中学2010届8月份月考数学试题（理科）已知
??f(x)?x2?bx?2,x?R.
（1）若函数F(x)?f[f(x)]与f(x)在x?R时有相同的值域，求b的取值范围； （2）若方程f(x)?|x2?1|?2在（0，2）上有两个不同的根x1、x2，求b的取值范围，并证明
11??4. x1x2解答（1）当x?R时，f(x)?x2?bx?2的图象是开口向上对称轴为x??的抛物线，
b2?8?b2??8?b2?∴f(x)的值域为?,???，∴F(x)?f[f(x)]的值域也为?,???的充要条件
?4??4?8?b2b≤?,即b2?2b?8≥0,?b≤?2,或b≥4， 是42即b的取值范围为(??,?2]?[4,??).
（2）f(x)?|x2?1|?2,即x2?bx?|x2?1|?0，由分析知b?0
?bx?1,|x|≤1,不妨设0?x1?x2?2,令H(x)?x?bx?|x?1|??2
2x?bx?1,|x|?1,?22因为H(x)在(0,1]上是单调函数，所以H(x)?0在(0,1]上至多有一个解. 若x1,x2?(1,2)，即x1、x2就是2x2?bx?1?0的解，x1x2??1?0，与题设矛盾. 2
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因此，x1?(0,1],x2?(1,2).由H(x1)?0得b??1，所以b≤?1； x1由H(x2)?0得b?17?2x2,所以??b??1. x22故当??b??1时，方程f(x)?|x2?1|?2在(0,2)上有两个解. 由b??72111111和b??2x2消去b，得??2x2. 由x2?(1,2),得??4. x1x2x1x2x1x212.(湖北省黄冈中学2010届高三10月份)
已知数列{an}中，a1?1，且an?(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式；
nan?1?2n?3n?2(n?2,n?N*)． n?13n?1(Ⅱ) 令bn?(n?N*)，数列{bn}的前n项和为Sn，试比较S2n与n的大小；
an(Ⅲ) 令cn?an?12cn}的前n项和为Tn．求证：对任意n?N*， (n?N*)，数列{2n?1(cn?1)都有 Tn?2．
aanan?1?2n?3n?2知，n?n?1?2?3n?2， n?1n?1 naa2n?2由累加法，当n?2时，n?1?2?2?3?2?3???2?3
n1解：(Ⅰ)由题an?an2(1?3n?1)?1??3n?1 代入a1?1，得n?2时，n1?3又a1?1，故an?n?3n?1(n?N*)． ．．．．．．．．．．．．．．．．4分
3n?11（II）n?N时，bn??．
ann*1111?1；当n?2时，S22?1????2； 22341111111当n?3时，S23?1????????3．
2345678方法1：当n?1时，S21?1?猜想当n?3时，S2n?n． ．．．．．．．．．．．．．．．．6分 下面用数学归纳法证明：
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