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①当n?3时，由上可知S23?3成立；
111????k?k. 23211111???k?1 当n?k?1时，左边?1?????k?k2322?12②假设n?k(k?3)时，上式成立，即1?112k?k?k???k?1?k?k?k?1，所以当n?k?1时成立．
2?122?1由①②可知当n?3,n?N*时,S2n?n． 综上所述：当n?1时,S21?1；当n?2时, S22?2；
当n?3(n?N*)时,S2n?n． ．．．．．．．．．．．．．．．10分
111????n 232111记函数f(n)?S2n?n?(1?????n)?n
232111所以f(n?1)?(1?????n?1)?(n?1) ．．．．．．．．．6分
232方法2：S2n?1?1112n?n???n?1)?1?n?1?0 则f(n?1)?f(n)?(n2?12?222?1所以f(n?1)?f(n)．
由于f(1)?S21?1?(1?)?1?0，此时S21?1；
12111f(2)?S22?2?(1???)?2?0，此时S22?2；
2341111111f(3)?S23?3?(1???????)?3?0，此时S23?3；
2345678由于，f(n?1)?f(n)，故n?3时，f(n)?f(3)?0，此时S2n?n．
综上所述：当n?1,2时，S2n?n；当n?3(n?N)时,S2n?n． ．．．．．．．．．．．10分 （III）cn?*an?1?3nn?1
2?3n2?3n2?3n?111当n?2时，n????. 2nnnn?1n?1n(3?1)(3?1)(3?3)(3?1)(3?1)3?13?1
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32?322?3n31111所以当n?2时Tn??2?????(?)?(?) 2n22232(3?1)(3?1)223?13?13?111)?2??2．
3n?1?13n?13n?13且T1??2
2＋??(1?故对n?N，Tn?2得证． ．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
13.(湖北省部分重点高中2010届高三联考（数学理）已知二次函数
*f(x)?ax2?bx（a,b为常数
且a?0），满足条件f(1?x)?f(1?x)，且方程f(x)?x有等根． (Ⅰ)求f(x)的解析式；
?1?12xx(Ⅱ)设g(x)?1?2f(x)(x?1)的反函数为g(x),若g(2)?m(3?2)对x?[1,2]恒成
立，求实数m的取值范围；
(Ⅲ)是否存在实数m,n(m?n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n]，如果存在，求出 m,n的值，如果不存在，说明理由． 解：(Ⅰ) ∵f(1?x)?f(1?x)，∴ ?12b?1，又方程f(x)?x有等根 ?ax2?(b?1)x?0有等根， 2a12∴??(b?1)2?0?b?1,?a??,?f(x)??x2?x …………………3分
（Ⅱ）由（I）得g(x)?x2?2x?1?y?g?1(x)?1?x(x?0)．
?当x?1时,y?(x?1)2(y?0),?x?1?y,即x?1?y.
………………5
分
g?1(22x)?m(3?2x)对x?[1,2]恒成立?1?2x?m(3?2x),对x?[1,2]恒成立.?(m?1)2x?1?3m?0.
设t?2,则2?t?4,且g(t)?(m?1)t?1?3m?0,对t?[2,4]恒成立x， ???g(2)?2(1?m)?1?3m?0解得
?g(4)?4(1?m)?1?3m?0?5?m?3
?m的取值范围是?5?m?3 ………………9分
（Ⅲ）∵f(x)为开口向下的抛物线，对称轴为x?1，
1? 当m?1时，f(x)在[m,n]上是减函数，∴3m?f(x)min?f(n)??n2?n (*)，
13n?f(x)max?f(m)??m2?m
212两式相减得：3(m?n)??(n2?m2)?(n?m)，∵1?m?n，上式除以m?n得：m?n?8，代入 (*)
12
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化简得：n2?8n?48?0无实数解． 2? 当n?1时，f(x)在[m,n]上是增函数，∴
13n?f(x)max?f(n)??n2?n
2?m??4,n?0
13m?f(x)min?f(m)??m2?m2，
3? 当m?1?n时，对称轴x?1?[m,n]，3n?f(x)max?f(1)??n?与n?1矛盾综合上述知，存在?m??4,n?0满足条件． …………………13分
14. (湖北省部分重点高中2010届高三联考（数学理已知函数f(x)?ex（其中e?2.71828?为自然对数的底数），g?x??1216nx?m(m,n?R)。 2（Ⅰ）若T(x)?f(x)?g(x)在(0,T(0))处的切线与直线y?x平行，试用n表示m，并求此时T(x)在[0,1]上的最大值；
（Ⅱ）若n?4时方程f(x)?g(x)在[0,2]上恰有两个相异实根，求m的取值范围； （Ⅲ）在m??
解：（Ⅰ）T(x)?ex(x?m)，T?(x)?ex(x?m)?ex?，由m??1得m?1?，………2分 此时T?(x)?ex(x?1)，
①当n?0时，T?(x)?ex?0，T(x)在[0,1]上为增函数，则此时T(x)max?T(1)?e；
②当n?0时，T?(x)?ex?(x?)，T(x)在(?,??)上为增函数，故T(x)在[0,1]上为增函数，则此时T(x)max?T(1)?e；
③当n?0时，T?(x)?ex?(x?)，T(x)在(??,?)上为增函数，在(?,??)上为减函数，
若0???1，即n??2时，故T(x)在[0,?]上为增函数，在[?,1]上为减函数，则此时
2?22?2T(x)max?T(?)?en(?1?m)???en，
nn15?，n?N时,求使f(x)的图象恒在g(x)图象上方的最大自然数n。 2n2n2n2n2n2n2n22n2nn22n2n2n2n2n2n若??1，即?2?n?0时，T(x)在[0,1]上为增函数，则此时T(x)max?T(1)?e；
2n
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综上所述：当n??2时T(x)max?T(1)?e；当n??2时T(x)max22?n???e； ………………6分 n （Ⅱ）F(x)?f(x)?g(x)?ex?2x?m，F?(x)?ex?2，故F(x)在(0,ln2)上单调递减；在(ln2,??)上单调递增；故F(x)?ex?2x?m在[0,2]上恰有两个相异实根，
?F(0)?1?m?0???F(ln2)?2?2ln2?m?0?2?2ln2?m?1………10分 ?2?F(2)?e?4?m?0
（Ⅲ）?p(x)?f(x)?g(x)?ex?x?n2n215nn，因为p?(x)?ex?故p(x)在(0,ln)上单?0恒成立（?）
222n2n2n2n2151n?(n?nln?15)?0， 222调递减；在(ln,??)上单调递增；故（?）?p(x)min?p(ln)??ln?x2x2x2设h(x)?x?xln?15，则h?(x)?1?ln?1??ln，故h(x)在(0,2)上单调递增；在(2,??)上单调递减；
而h(2e2)?2e2?2e2lne2?15?15?2e2?0，且h(15)?15?15ln151515?15?15(2?ln)?15(lne2?ln)?0， 2221?2[)x0时h(x)?0，x?(x0,??)时h(x)?0，)1(61n?l?0故存在x0?(2e2,15)使h(x0)?0，且x?,2又?h?故n?N时使f(x)的图象恒在g(x)图象的上方的最大自然数n?14； ………14分
15.(湖北省荆州中学2010届高三九月数学卷（理科）
如果f?x0?是函数f?x?的一个极值，称点?x0,f?x0??是函数f?x?的一个极值点.已知函数
f?x???ax?b?e?x?0且a?0?
（1）若函数f?x?总存在有两个极值点A,B，求a,b所满足的关系；
（2）若函数f?x?有两个极值点A,B，且存在a?R，求A,B在不等式x?1表示的区域内时实数b的范围.
（3）若函数f?x?恰有一个极值点A，且存在a?R，使A在不等式?内，证明：0?b?1.
ax?x?1表示的区域y?e?a解：（1）f'(x)?a?e?(ax?b)(?2)?ex
x令f??x??0得x?ax?b?0 ?a?4b?0 又 ?a?0且x?0
22axa
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