高三数学n次独立重复试验及概率综合例题解析
一. 本周教学内容
n次独立重复试验及概率综合 二. 重点、难点
1. 在一次试验中某事件发生的概率为P，在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为
Pn(k)。
kPn(k)?CnPk(1?P)n?k
2. P(0)?P(1)?P(2)???P(n)?[(1?P)?P]?1?1
nn【典型例题】
[例1] 甲、乙两人投篮投中的概率分别为0.6、0.7两个各投三次，求得分相同的概率
P(D)?P(A0B0)?P(A1B1)?P(A2B2)?P(A3B3)
33121222 ?(1?0.6)(1?0.7)?C30.6(1?0.6)?C30.7(1?0.7)?C30.6
(1?0.6)?C320.72(1?0.7)?0.63?0.73?0.321
[例2] 在四次独立重复试验中，事件A至少发生一次的概率为生的概率。
设P(A)?x
80，求事件A在一次试验中发818004433221(1?x)4 ?C4x?C4x(1?x)?C4x(1?x)2?C4x(1?x)3?1?C48112(1?x)4? x?
813
[例3] 同时抛掷15枚均匀的硬币。
（1）求至多有一枚正面向上的概率；
（2）判断正面向上为奇数枚的概率与正面向上为偶数枚的概率是否相等。
1111?C15?()?()14?()11
22211211511114313131131215（2）P(奇)?C15()()?C15()?()???C15()()?C15?()
222222213515115 ?(C15?C15?C15???C15)()
2115114 ?2?()?
221∴ P(奇)?P(偶)?
2（1）P?P(0)?P(1)?C15()01512用心 爱心 专心 122号编辑 1
[例4] 在某次测验中共10道判断题，每题10分。用“√”和“×”作答，某学生不加思索地任意画“√”和“×”求（1）全错的概率；（2）全对的概率；（3）对8道的概率；（4）及格的概率(?60)
解：
101101?()10
2221101011010（2）P(10)?C10()()?()
22212110818（3）P(8)?C10()?()?45?()
222（1）P(0)?C10()()0（4）P(A)?P(6)?P(7)?P(8)?P(9)?P(10)
1678910?[C10?C10?C10?C10?C10]()10
21?386()10
2
[例5] 甲独立破译密码的概率为人去工作。
解：设n个人均译不出的概率为(1?) ∴ 1?(1?)?199，为使破译率不小于，至少需要多少个与甲同等水平的410014n14n1993n1 ()? n?log3
10010041004log31?10041log311004?1log311004?2?16.3
lg4?lg3∴ 至少有17个人
[例6] 一次掷m枚骰子，共掷n次，求至少出现一次全6的概率。
解：掷m枚骰子
全6的概率为()，非全6的概率为1?() 掷n次，均非全6的概率为(1?∴ P?1?(1?
[例7] 1000件产品中有m(m?10)件次品，已知抽取10件产品中恰含3个次品的概率为P(3)，m为何值时P(3)最大。
用心 爱心 专心 122号编辑 2
16m16m1n) 6m1n) m6
37CmC1000?m设f(m)? 10C100037CmCf(m?1)??1101001?m
C1000f(m)m(994?m)3003?10m??1?
f(m?1)(m?3)(1001?m)(m?3)(1001?m)∵ m?3?0 1001?m?0
m?(10,300.3)时，
f(m)?1
f(m?1)∴ f(11)?f(12)?f(13)???f(300)
m?(300.3,1000)时，
f(m)?1
f(m?1)f(300)?f(301)?f(302)???f(1000)
∴ m?300时，P(3)最大
[例8] A掷两颗骰子，B掷三颗骰子，所得最大点数分别记为M、N，若M?N则A获胜，试判断A、B两人哪一个易于获胜。
掷k枚骰子，点数小于等于m(m?1,2?6)的概率为(mk) 6P(A)表示A获胜
65M?6 ()k?()k
6654M?5 ()2?()2
66?
1M?1 ()2
6∴
3625251651694943?]?1?[?]?()3?[?]?()3?[?]?()3363636366363663636641211?[?]?()3?()2?()3 36366662376?1125?448?135?24?1 ?
777641091 ??
77762P(A)?[用心 爱心 专心 122号编辑 3
∴ A易于获胜
1. 一袋中有红球3个，蓝球2个，黄球1个，从中任取一个确定颜色为放回，直到取到红球为止但最多取3次，求（1）取的次数不超过两次的概率；（2）其中恰好两次取到蓝球的概率。 2. 甲、乙进行乒乓球比赛，已知每局甲获胜概率为0.6，乙获胜概率为0.4，比赛可采用三局二胜制，或五局三胜制。试问哪一种制度下，甲获胜的可能性大。
3. 从一副扑克牌（共52张）中一张接一张地抽牌不放回，求在第k次抽牌时。
的概率 （1）A??第一次取到A牌?的概率 （2）B??第二次取到A牌?的概率 （3）C??第三次取到A牌?的概率 （4）D??第四次取到A牌?4. 从一副扑克牌中有返回地一张张抽，直至四种花色取齐时停止，停止时恰抽k次的概率。
[参考答案]
1.
（1）P?P(1)?P(2)?（2）P?3333??? 6664221??1? 6692. 解：
A：三局二胜中甲胜
P1?0.6?0.6?0.36 P2?0.6?0.4?0.6?0.144 P3?0.4?0.6?0.6?0.144
∴ P(A)?0.648 B：五局三胜甲胜
P1?0.63?0.216
P2?C32(0.6)2?0.4?0.6?0.2592
2P3?C4(0.6)2?0.42?0.6?0.20736
P(B)?0.68256
∴ P(A)?P(B)
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五局三胜对甲有利 3.
（1）P(A)?C1k?14?A48Ak 5211（2）P(B)?C?Ak?24?C3?(k?1)48Ak 52（3）P(C)?C12k?34C3?A2(k?1)A48Ak
52（4）P(D)?C13A3k?44C3k?1?A48Ak 524. 解：只研究花色 ∴ 每次抽取每种花色占14 第k次抽到的花色前k?1次没有抽到
C11?[(3)k?1?C2?(2)k?1?C11?14?44343?(4)k] ?(34)k?1?3?(1k?11k?12)?3(4)
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