凯莱-哈密尔顿(Caylay-Camilton)定理

现代控制理论基础

2-5线性系统的脉冲响应矩阵

一：线性时变系统的脉冲响应矩阵 定义：线性时变系统的输出为：

y(t)?C(t)?(t,t0)x(t0)?C(t)??(t,?)B(?)u(?)d??D(t)u(t)t0t假设初始条件为零，输入信号中，ui(t)为单位脉冲信号,其余的输入信号为零。即：

u(t)?ei?(t??)?0???????0?ei??1??i位置?0????????0??则输出为：

yi(t)?C(t)??(t,?1)B(?1)ei?(?1??)d?1?D(t)ei?(t??)t0t?C(t)?(t,?)B(?)ei?D(t)ei?(t??)?hi(t,?),(t??)定义：

H(t,?)?[h1(t,?),h2(t,?),?hr(t,?)]?[C(t)?(t,?)B(?)e1,C(t)?(t,?)B(?)e2,?C(t)?(t,?)B(?)er]?[D(t)e1,D(t)e2,?D(t)er]?(t??)?C(t)?(t,?)B(?)?D(t)?(t??)即：

?C(t)?(t,?)B(?)?D(t)?(t??)t??H(t,?)??0t???上式即为线性时变系统的脉冲响应矩阵。

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二：线性定常系统的脉冲响应矩阵 线性定常系统的脉冲响应矩阵定义为：

?C?(t??)B?D?(t??)t??H(t??)??0t???当τ=0时，有：

?C?(t)B?D?(t)t?0H(t)??0t?0?

三：传递矩阵与脉冲响应矩阵的关系 对H(t)进行拉氏变换，得：

H(s)??H(t)e?stdt?C(sI?A)?1B?D?G(s)0?上式说明在拉氏变换中，脉冲响应矩阵和传递矩阵分别为原函数和象函数。脉冲响应矩阵既可以由定义求得，也可以对传递矩阵进行拉氏反变换求得。 例：

?0?x???0?1y???01??0?x???u2???1?0?x1??求脉冲响应矩阵

解： 1??1?1?ss(s?2)??s?1? (sI?A)?1??????10s?2?? ?0??s?2???

1??2t? 1(1?e)??1?1?(t)?L(sI?A)??2?0??2t e??

?1?2t?(1?e)? H(t)?C?(t)B??2?e?2t? ??也可以利用传递矩阵的拉氏反变换求得。

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四：利用脉冲响应矩阵计算控制系统的输出 设：

u(t)??u(?)?(t??)d?t0t则：

y(t)?C?(t?t0)x(t0)?C??(t??)Bu(?)d??Du(t)t0ttt?C?(t?t0)x(t0)?C??(t??)Bu(?)d??D?u(?)?(t??)d?t0t0?C?(t?t0)x(t0)??[C?(t??)B?D?(t??)]u(?)d?t0tt?C?(t?t0)x(t0)??H(t??)u(?)d?t0

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2-6连续系统动态方程的离散化

一：线性定常系统动态方程的离散化 设线性定常系统的动态方程为：

??Ax?Bu?x??y?Cx?Du在kT≤t<(k+1)T时，u(t)=u(kT)， 初始状态为:

x(t)t?kT?x(kT)则在kT≤t<(k+1)T：

x(t)??(t?kT)x(kT)???(t??)Bu(?)d?kTtx[(k?1)T]??(T)x(kT)??(k?1)TkT?[(k?1)T??]Bu(kT)d?令：

G??(T)H??T0(k?1)TkT?[(k?1)T??]Bd?T0???[T??]Bd????(?)Bd?则线性定常系统的离散化动态方程为：

?x(k?1)?Gx(k)?Hu(k)??y(k)?Cx(k)?Du(k)例：线性定常系统的状态方程为：

1??0?0????xx???1?u?2?3????设采样周期T=1秒，试求其离散化状态方程。

解：

?2e?t?e?2t?(t)???t?2t?2e?2e??2e?T?e?2TG??(T)???T?2T??2e?2ee?t?e?2t???e?t?2e?2t?e?T?e?2T??0.60040.2325??????e?T?2e?2T???0.4651?0.0972?

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