第二章矩阵及其运算

第二章 矩阵及其运算

第一节 矩阵及其运算

一．数学概念

定义1.1 由

个数

排成

m行n列的数表

称为m行n列的矩阵，简称

矩阵，记作

二．原理，公式和法则

1．矩阵的加法 (1) 公式

(2) 运算律

2．数乘矩阵 (1) 公式

(2) 运算律

3．矩阵与矩阵相乘 (1) 设 则

其中

,

，且

。

(2) 运算符(假设运算都是可行的)：

(3) 方阵的运算

注意：①矩阵乘法一般不满足交换律。

②一般

4.矩阵的转置

(1) 公式

这里

为

A的转置矩阵。

(2) 运算律

5.方阵的行列式

(1) 公式

设A为n阶方阵， (2) 运算律

为

A的行列式。

6.共轭矩阵

(1)公式 设

共轭矩阵。

(2)运算律(设A,B为复矩阵，

为复数，且运算都是可行的)：

为复矩阵，

表示为

的共轭复数，则

为方阵的

第二节 逆矩阵

一. 数学概念

定义2.1 设A为n阶方阵，若存在一个n阶方阵B使

是可逆的，并把矩阵称为A的逆矩阵。

1. 可逆矩阵又称为非奇异矩阵。 2. 不可逆矩阵又称为奇异矩阵。

，则称矩阵

A

二. 原理，公式和法则

1. 定理2.1 方阵A可逆的充分必要条件是 ,且 ，其中

为A的伴随矩阵。

推论 若AB＝E(或BA=E)则B＝A-1。 性质 逆矩阵是唯一的。 2. 运算律

① 若A可逆，则A-1亦可逆，且

。

② 若A可逆，数

,则λA可逆，且

。

③ 若A,B为同阶矩阵且均可逆，则AB亦可逆，且 ④ 若A可逆，则AT亦可逆，且

第三节 分块矩阵

一. 数学概念

分块矩阵：用若干条横线和竖线将矩阵A分成若干小块，每一小块称为矩阵的子块，以子块为元素的矩阵为分块矩阵。

1.一般分块

2.按行分块