03～09级高等数学（A）（上册）试卷
东南大学
2003级高等数学（A）（上）期中试卷
一、单项选择题（每小题4分，共12分）
1.函数 y?f(x)在点x?处可导, 且f?(x?)?2, 则当?x?0时, dy是（） （A）与?x等价的无穷小；（B）与?x同价但非等价的无穷小； （C）比?x低价的无穷小；（D）比?x高价的无穷小。 2.方程x5?2x?1?0在(??, ??)内恰有（）
（A） 一个实根；（B）二个实根；（C）三个实根；（D）五个实根。 3.已知函数f 在 x?0 的某个邻域内连续, f(0)?0, lim则f 在 x?0 处（）
（A） 不可导；（B）可导且f?(0)?0；（C）取得极大值；（D）取得极小值。 二、填空题（每小题4分，共24分）
f(x)?1,
x?01?cosx?cos2x?cos3x,x?0,?2 则当 a? 时，f (x)在 x?0 处连续. 1.若f(x)??x?a ,x?0.? 2.设函数f (x)?lim其类型是 .
3.函数f(x)?xe在x??1处的带Lagrange余项的三阶Taylor公式为 4.设函数y?y(x)由方程sin(xy)?ye?1 所确定，则dy? . 5.已知f(x)?ln(1?x)，则f(n)xx1?x?x2enx1?enxn??，则f (x)在 x? 0 处 ，
(0)? .
dy? dx226.设y?f(cosx)?tanx，其中f 可导，则 三、（每小题7分，共28分）
1.求极限lim[tan(x?)]cot2x. 2.求极限lim(sinx?1?sinx)
x?0?4x???3.已知y?ln1?e?x?x?2sint?dyd2yxsinx，求y?(). 4.设? , 求 , 2.
y?cos2t2dxdx?x3?sinx. 四、（8分）求证当 x?0 时， x?6五、（6分）落在平静水面上的石头产生同心圆形波纹。若最外一圈半径的增大率总是6m/s，问2秒末受到扰动的水面面积的增大率为多少？
2六、（8分）试就a的不同取值，讨论方程(x?a)3?2?a的实根的个数。
七、（6分）设函数f 在 [0, 1] 上连续，在 (0, 1)内可导，且 f(1)?0，证明：至少存在一点??(0, 1)，使3f(?)??f?(?)?0。
八、（8分）在椭圆
x2a2?y2b2?1 (a?b?0)上求一点P(x, y)，使得它与另外两点A(2a, 0)，
B(0, 2b)构成的三角形?APB的面积最小。
2004级高等数学（A）（上）期中试卷
一. 填空题(每小题4分,共20分) 1.设x?0时, esin3x?1与xn是等价无穷小,则n? .
?ln?1?2x?,x?0?x2.设f(x)??在x?0处连续,则a? .
?x?ae,x?03.设f(x)?x2cosx,则f?10?(0)? . 4.函数f(x)?2x?ln(1?x)在区间 内单调减少.
5.函数f(x)?xlnx在x0?1处的带Lagrange余项的一阶Taylor公式为 二. 选择题(每小题4分,共16分)
1ex1ex1.设f(x)??1?11arctan,则x?0是f(x)的 [ ]
x(A) 连续点 (B) 第一类(非可去)间断点 (C) 可去间断点 (D) 第二类间断点
2.设f(x)?x?2g(x),且g(x)在x?2处连续,g(x)?0,则f?(2) [ ] (A) =g(2) (B) = -g(2) (C) ?0 (D) 不存在 3.函数f?x??lnx?x?1在?0,???内的零点个数为 [ ] e(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 4.设曲线y?2?x?12?x22,则该曲线 [ ]
?1(A)有渐近线 (B) 仅有水平渐近 (C) 仅有垂直渐近线 (D) 既有水平渐近线, 又有垂直渐近线 三. 计算题(每小题7分,共3 5分)
1?2xsin?21??1x?? 2. lim?1. limcotx??x?0?ln?1?x?x?0sinxx????????2?x???1?3?ex?sinx??? ???3. 设y?y?x?是由方程xex?y?siny2?0确定的隐函数,求dy.
?x?1?t2dy,4. 设?, 求dx?y?arctantd2y. 2dxx?x?0;?e,,且f???0?存在,试确定常数a,b,c. 5. 设函数f?x???2??ax?bx?c,x?0四.(8分) 证明不等式: 当x?1时, ?1?x?ln?1?x??1?x.
2五.(8分) 求曲线y?x图形的面积最大.
2?0?x?8?的切线,使切线与直线y?0及直线x?8所围成的
4?1?xn? ?n?1,2,??,证明数列?xn?收敛,并求limxn.
n??4?xn六.(7分) 设x1?0,xn?1?七.(6分) 设f?x?在?a,b?上连续,在?a,b?内可导,且ab?0,证明:??,???a,b?，使得
a2?ab?b2f?????f????. 23?
2005级高等数学（A）（上）期中试卷
一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1．limxsinx??2x? ； 2x?122．当x?0时,?(x)?1?xarcsinx?cosx与?(x)?kx是等价无穷小,则k? ; 3．设y??1?sinx?，则dyxxx??? ；
4．函数f(x)?xe在x?1处带有Peano余项的二阶Taylor公式为 ；
x?x?0?2ae?sinx,5．已知函数f(x)??可导，则a? ，b? 。 3??2b(x?1)?9arctanx,x?0二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分） 6．设函数f(x)?11?ex?1x，则 [ ]
（A）x?0,x?1都是f(x)的第一类间断点（B）x?0,x?1都是f(x)的第二类间断点（C）
x?0是f(x)的第一类间断点，x?1是f(x)的第二类间断点
（D）x?0是f(x)的第二类间断点，x?1是f(x)的第一类间断点
?x?t2?2t7．设函数y?y(x)由参数方程?确定，则曲线y?y(x)在x?3处的切线与xy?ln(1?t)?轴交点的横坐标是 [ ]
（A）ln2?3 （B）?ln2?3 （C）?8ln2?3 （D）8ln2?38．以下四个命题中，正确的是 [ ]
（A）若f?(x)在(0,1)内连续，则f(x)在(0,1)内有界 （B）若f(x)在(0,1)内连续，则f(x)在(0,1)内有界 （C）若f?(x)在(0,1)内有界，则f(x)在(0,1)内有界 （D）若f(x)在(0,1)内有界，则f?(x)在(0,1)内有界
9．当a取下列哪个数值时，函数f(x)?2x?9x?12x?a恰有两个不同的零点[ ] （A）2 （B）4 （C）6 （D）8
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