2014年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
考试时间 2014年3月23日 上午8:30—9:30 满分70分
题 号 得 分 评卷人 复核人 选择题 填空题 一试 二试 总分
考生注意：1 本试卷两个大题共10个小题，全卷满分70分。 2 用圆珠笔或钢笔作答。 3 解题书写不要超出装订线。
一、 选择题：（本题满分42分，每小题7分）
本题共有6个小题，每题均给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的。将你所选择的答案的代号填在题后的括号内，每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不伦是否写在括号内），一律得0分。 1．已知x,y为整数，且满足(?1x111211)(2?2)??(4?4)，则x?y的可能的值有（ ） yxy3xyA. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2．已知非负实数x,y,z满足x?y?z?1，则t?2xy?yz?2zx的最大值为 （ ）
45912 B． C． D．791625 3．在△ABC中，AB?AC，D为BC的中点，BE?AC于E，交AD于P，已知BP?3，PE?1，则AE＝ （ ）
A．A．
6 B．2 C．3 D．6 24．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ ）
A．
1223 B． C． D．2534
35．设[t]表示不超过实数t的最大整数，令{t}?t?[t].已知实数x满足x?11，则?18{x}?{}? 3xx （ ）
11 B．3?5 C．(3?5) D．1 226．在△ABC中，?C?90?，?A?60?，AC?1，D在BC上，E在AB上，使得△ADE为等腰直角三角形, ?ADE?90? ,则BE的长为 （ ）
1A．4?23 B．2?3 C．(3?1) D．3?1
2A．
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上。 1．已知实数a,b,c满足a?b?c?1，2．使得不等式
111???1，则abc?__ __．
a?b?cb?c?ac?a?b9n8??对唯一的整数k成立的最大正整数n为 ． 17n?k153．已知P为等腰△ABC内一点，AB?BC，?BPC?108?，D为AC的中点，BD与PC交于点E，如果点P为△ABE的内心，则?PAC? ．
4．已知正整数a,b,c满足:1?a?b?c，a?b?c?111，b2?ac，则b? ．
2014年全国初中数学联合竞赛试题
第二试
考试时间 2014年3月23日 上午9:50—11:20 满分70分
题 号 得 分 评卷人 复核人 一 二 三 二试
考生注意：本试题共三个大题，第一题20分，第二、三题各25分，满分70分。
一、（本题满分20分）
设实数a,b满足a(b?1)?b(b?2a)?40，a(b?1)?b?8，求 二．（本题满分25分）
如图，在平行四边形ABCD中，E为对角线BD上一点，且满足?ECD??ACB, AC的延长线与△ABD的外接圆交于点F. 证明：?DFE??AFB．
2211?的值． a2b2
三．（本题满分25分）设n是整数，如果存在整数x,y,z满足n?x?y?z?3xyz，则称n具有性质P.在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质P，哪些数不具有性质P？并说明理由.
333
2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
说明：第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.
第一试
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知x,y为整数，且满足(?1x111211)(2?2)??(4?4)，则x?y的可能的值有（ ） yxy3xyA. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答】 C.
x?yx2?y22x4?y4?22??44，显然x,y均不为0，所以x?y＝0或3xy?2(x?y). 由已知等式得xyxy3xy若3xy?2(x?y)，则(3x?2)(3y?2)??4.又x,y为整数，可求得??x??1，?x??2，或?所以?y?1.?y?2,x?y?1或x?y??1.
因此，x?y的可能的值有3个.
2．已知非负实数x,y,z满足x?y?z?1，则t?2xy?yz?2zx的最大值为 （ ） A．
45912 B． C． D．791625
【答】 A.
1t?2xy?yz?2zx?2x(y?z)?yz?2x(y?z)?(y?z)2
41731734?2x(1?x)?(1?x)2??x2?x???(x?)2?，
4424477324易知：当x?，y?z?时，t?2xy?yz?2zx取得最大值.
7773．在△ABC中，AB?AC，D为BC的中点，BE?AC于E，交AD于P，已知BP?3，PE?1，则AE＝ （ ）
A．
6 B．2 C．3 D．6 2【答】 B.
因为AD?BC，BE?AC，所以P,D,C,E四点共圆，所以BD?BC?BP?BE?12，又
BC?2BD，所以BD?6，所以DP?3.
又易知△AEP∽△BDP，所以
PE1AEPE?BD??6?2. ，从而可得AE??DPBDDP3
4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ ）
A．
1223 B． C． D．2534
【答】 B.
若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.
要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种.
因此，所求概率为
82?. 20535．设[t]表示不超过实数t的最大整数，令{t}?t?[t].已知实数x满足x?11，则?18{x}?{}? 3xx （ ）
A．
11 B．3?5 C．(3?5) D．1 22111111?a，则x3?3?(x?)(x2?2?1)?(x?)[(x?)2?3]?a(a2?3)，所以xxxxxx【答】 D. 设x?a(a2?3)?18，因式分解得(a?3)(a2?3a?6)?0，所以a?3.
1111?3解得x?(3?5)，显然0?{x}?1,0?{}?1，所以{x}?{}?1. x2xx6．在△ABC中，?C?90?，?A?60?，AC?1，D在BC上，E在AB上，使得△ADE为等腰直角三角形, ?ADE?90? ,则BE的长为 （ ）
1A．4?23 B．2?3 C．(3?1) D．3?1
2由x?【答】 A.
过E作EF?BC于F，易知△ACD≌△DFE，△EFB∽△ACB. 设EF?x，则BE?2x，AE?2?2x，DE?CDF222故1?x?[2(1?x)]，即x2?4x?1?0.又0?x?1，故可得x?2?3. 2(1?x)，DF?AC?1，
BAE故BE?2x?4?23.
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知实数a,b,c满足a?b?c?1，【答】 0. 由题意知
111???1，则abc?____．
a?b?cb?c?ac?a?b111???1，所以 1?2c1?2a1?2b(1?2a)(1?2b)?(1?2b)(1?2c)?(1?2a)(1?2c)?(1?2a)(1?2b)(1?2c)
整理得2?2(a?b?c)?8abc，所以abc?0.
2．使得不等式【答】144. 由条件得所以n?144.
9n8??对唯一的整数k成立的最大正整数n为 ． 17n?k157k8k?17k?182k?1k?1871由k的唯一性，得所以?，??，?且?，????8n9n8n9nnn98727k8??可得126?k?128，k可取唯一整数值127. 8n9故满足条件的正整数n的最大值为144.
当n?144时，由
3．已知P为等腰△ABC内一点，AB?BC，?BPC?108?，D为AC的中点，BD与PC交于点E，如果点P为△ABE的内心，则?PAC? ．
【答】48?.
由题意可得?PEA??PEB??CED??AED， 而?PEA??PEB??AED?180?，
所以?PEA??PEB??CED??AED?60?， 从而可得?PCA?30?.
又?BPC?108?，所以?PBE?12?，从而?ABD?24?. 所以?BAD?90??24??66?，
B11(?BAD??CAE)?(66??30?)?18?， 22所以?PAC??PAE??CAE?18??30??48?.
?PAE?
ECPAD4．已知正整数a,b,c满足:1?a?b?c，a?b?c?111，b2?ac，则b? ． 【答】36.
设a,c的最大公约数为(a,c)?d，a?a1d，c?c1d，a1,c1均为正整数且(a1,c1)?1，a1?c1，则
2b2?ac?d2a1c1，所以d2|b2，从而d|b，设b?b1d（b1为正整数），则有b1?a1c1，而(a1,c1)?1，22所以a1,c1均为完全平方数，设a1?m,c1?n，则b1?mn，m,n均为正整数，且(m,n)?1，m?n.
又a?b?c?111，故d(a1?b1?c1)?111，即d(m?n?mn)?111.
2222注意到m?n?mn?1?2?1?2?7，所以d?1或d?3.
2222若d?1，则m?n?mn?111，验算可知只有m?1,n?10满足等式，此时a?1，不符合题意，
故舍去.
22若d?3，则m?n?mn?37，验算可知只有m?3,n?4满足等式，此时a?27,b?36,c?48，
符合题意.
因此，所求的b?36.
第二试
一、（本题满分20分）设实数a,b满足a(b?1)?b(b?2a)?40，a(b?1)?b?8，求值．
解 由已知条件可得ab?(a?b)?40，ab?(a?b)?8.
设a?b?x，ab?y，则有x?y?40，x?y?8， 联立解得(x,y)?(2,6)或(x,y)?(6,2).
若(x,y)?(2,6)，即a?b?2，ab?6，则a,b是一元二次方程t2?2t?6?0的两根，但这个方程的判别式??(?2)?24??20?0，没有实数根；
若(x,y)?(6,2)，即a?b?6，ab?2，则a,b是一元二次方程t2?6t?2?0的两根，这个方程的判别式??(?6)?8?28?0，它有实数根.所以
22222222211?的a2b211a2?b2(a?b)2?2ab62?2?2?2?22???8. 2222ababab2
二．（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD中，且满足?ECD??ACB, E为对角线BD上一点，AC的延长线与△ABD的外接圆交于点F. 证明：?DFE??AFB．
证明 由ABCD是平行四边形及已知条件知?ECD??ACB??DAF. D又A、B、F、 D四点共圆，所以?BDC??ABD??AFD，所以△ECD∽△DAF， AECBFEDCDAB. ??DFAFAF又?EDF??BDF??BAF，所以△EDF∽△BAF，故 ?DFE??AFB.
所以
三．（本题满分25分）设n是整数，如果存在整数x,y,z满足n?x?y?z?3xyz，则称n具有性
333
质P.在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质P，哪些数不具有性质P？并说明理由.
解 取x?1，y?z?0，可得1?13?03?03?3?1?0?0，所以1具有性质P. 取x?y?2，z?1，可得5?23?23?13?3?2?2?1，所以5具有性质P. 为了一般地判断哪些数具有性质P，记f(x,y,z)?x?y?z?3xyz，则
333f(x,y,z)?(x?y)3?z3?3xy(x?y)?3xyz ?(x?y?z)3?3(x?y)z(x?y?z)?3xy(x?y?z)
＝(x?y?z)?3(x?y?z)(xy?yz?zx)
31?(x?y?z)(x2?y2?z2?xy?yz?zx) 21?(x?y?z)[(x?y)2?(y?z)2?(z?x)2]. 21即f(x,y,z)?(x?y?z)[(x?y)2?(y?z)2?(z?x)2] ①
2不妨设x?y?z，
如果x?y?1,y?z?0,x?z?1，即x?z?1,y?z，则有f(x,y,z)?3z?1； 如果x?y?0,y?z?1,x?z?1，即x?y?z?1，则有f(x,y,z)?3z?2； 如果x?y?1,y?z?1,x?z?2，即x?z?2,y?z?1，则有f(x,y,z)?9(z?1)； 由此可知，形如3k?1或3k?2或9k（k为整数）的数都具有性质P. 因此，1，5和2014都具有性质P.
若2013具有性质P，则存在整数x,y,z使得2013?(x?y?z)?3(x?y?z)(xy?yz?zx).注意到
33|2013，从而可得3|(x?y?z)3，故3|(x?y?z)，于是有9|(x?y?z)3?3(x?y?z)(xy?yz?zx)，
即9|2013，但2013＝9×223＋6，矛盾，所以2013不具有性质P.
第二试 （B）
一．（本题满分20分）同（A）卷第一题.
二．（本题满分25分）如图，已知O为△ABC的外心，AB?AC，D为△OBC的外接圆上一点，过点A作直线OD的垂线，垂足为H.若BD?7，DC?3，求AH.
解 延长BD交⊙O于点N，延长OD交⊙O于点E，由题意得
A?NDE??ODB??OCB??OBC??CDE，所以DE为?BDC的平分线. ……………………5分
又点D在⊙O的半径OE上，点C、N在⊙O上，所以点C、N关于直线OE对称，DN?DC. ……………………10分
延长AH交⊙O于点M，因为O为圆心，AM?OD，所以点A、M关于直线OD对称，AH?MH.因此MN?AC?AB.
……………………15分 又?FNM??FAB，?FBA??FMN，所以△ABF≌△NMF，所以MF?BF，FN?AF. ……………………20分
因此，AM?AF?FM?FN?BF?BN?BD?DN?BD?DC ?7?3?10，即2AH?10，所以AH?5. ……………………25分
HODNEFBMC 三．（本题满分25分）
设n是整数，如果存在整数x,y,z满足n?x?y?z?3xyz，则称n具有性质P. （1）试判断1，2，3是否具有性质P；
（2）在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质P的数有多少个？ 解 取x?1，y?z?0，可得1?13?03?03?3?1?0?0，所以1具有性质P；
取x?y?1，z?0，可得2?13?13?03?3?1?1?0，所以2具有性质P；…………………5分 若3具有性质P，则存在整数x,y,z使得3?(x?y?z)?3(x?y?z)(xy?yz?zx)，从而可得
33333|(x?y?z)3，故3|(x?y?z)，于是有9|(x?y?z)3?3(x?y?z)(xy?yz?zx)，即9|3，这是不可
能的，所以3不具有性质P. ……………………10分
（2）记f(x,y,z)?x?y?z?3xyz，则
333f(x,y,z)?(x?y)3?z3?3xy(x?y)?3xyz ?(x?y?z)3?3(x?y)z(x?y?z)?3xy(x?y?z)
＝(x?y?z)?3(x?y?z)(xy?yz?zx)
31?(x?y?z)(x2?y2?z2?xy?yz?zx) 2
1?(x?y?z)[(x?y)2?(y?z)2?(z?x)2]. 21即f(x,y,z)?(x?y?z)[(x?y)2?(y?z)2?(z?x)2] ①
2……………………15分
不妨设x?y?z，
如果x?y?1,y?z?0,x?z?1，即x?z?1,y?z，则有f(x,y,z)?3z?1； 如果x?y?0,y?z?1,x?z?1，即x?y?z?1，则有f(x,y,z)?3z?2； 如果x?y?1,y?z?1,x?z?2，即x?z?2,y?z?1，则有f(x,y,z)?9(z?1)； 由此可知，形如3k?1或3k?2或9k（k为整数）的数都具有性质P.……………………20分
3又若3|f(x,y,z)?(x?y?z)?3(x?y?z)(xy?yz?zx)，则3|(x?y?z)，从而3|(x?y?z)，
3进而可知9|f(x,y,z)?(x?y?z)?3(x?y?z)(xy?yz?zx).
综合可知：当且仅当n?9k?3或n?9k?6（k为整数）时，整数n不具有性质P. 又2014＝9×223＋7，所以，在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质P的数共有224×2＝448个. ……………………25分
------------------------------------------------------------------------ 怎样才能学好数学
一、把握好课堂的每一分钟
如今的小学数学教师，都比较重视课堂教学的效益，所以，老师最期盼的事情就是：学生能够专心听讲，眼睛时刻盯在老师身上，或者盯在黑板上。这里为什么要强调“盯”？因为“盯”与“看”的意思有很大不同。看，是指使视线接触人或物。盯，在百度百科中的解释是：注视，集中视力看着，不放松。由此可见，“看”只是指学生的眼睛接触到了人和物，究竟有没用用心地看，则说不准。而“盯”的意思是指学生用心的看，并且在看的过程中持续地思考。
作为小学数学老师，我们往往都会有这样的感觉：在上课时，全班有99%学生的学生都是看老师、看黑板，但是，他们的学习效果却会相差很大，其原因实际上就是“盯”与“看”的区别。有的学生只是看老师讲，但没有用心地看，不动脑筋，那样的听课效果肯定很差。而有的学生是用心地看老师讲解，并且在看的过程中还用心思考，所以成绩就好。
因此，我觉得，只要学生能够把握好课堂的每一分钟，把老师讲解的知识点都能吸收和消化，那么，他的成绩一定会很好。相反，如果课堂上不用心听讲，指望课后再去弥补，则不会取得多大的效果。这也是很多孩子即使参加了课外补习也不能有效提高数学成绩的原因。但是，在现实中，还有很多家长热衷于把孩子送去补习班，指望通过补习来提高孩子的数学成绩，实际上，这样的做法是无效的。
二、认真对待每一次练习
前面提到的“把握好课堂的每一分钟”，主要目的是能够把老师讲解的知识点都能吸收进来。但是，要把知识点转化为自己的解题能力，还需要通过适当的练习才能实现。所以，要想学好小学数学，还是要认真对待每一次练习。无论是数学课本上的练习题，还是课外资料上的题目，或者是平时的小测验，都要认真去做，这样才能有效检验自己的掌握程度，才能知道对哪个知识点还有欠缺。
练习既有巩固知识点的作用，也有“查漏补缺”之功效。对于数学练习，不仅要认真做，而且在老师
3
批改后，还要认真地订正。订正时，要尽可能地独立思考解决，而不能直接参考同学的答案，或者拿别人的答案来抄写，那样的订正实际上是没有一点作用的。对于自己在订正中仍然没有弄清楚的问题，就要在老师讲解过程中专心地听、用心地思考。如果老师不讲解，可以直接去问老师该如何解答。因为老师毕竟在数学教学方面的经验比较丰富，知道怎样讲解才能使学生容易听懂。所以，能够有机会问老师的，就不要去问同学。
三、要重点攻克难点问题
有了前面两方面的努力作为基础，我想，学生的数学成绩想考到85~90分以上，已经不存在什么难度了。那么，接下来的问题，就是如何让学生能达到95分以上甚至是100分。根据我的经验，学生在考试中容易丢分的往往只是一些少数的知识点甚至是个别难点。不过，在小学阶段，数学中的知识点也并不多。
-------------------------------------------------------------------------
相关推荐：
loading