万有引力与航天
一、单项选择题
1．(2018·高考北京卷)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证( )
1
A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的2 601
B．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的2 601
C．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的 61
D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的
60
解析：选B.若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律——万有引力定律，则应满足G2＝ma，即加速度a与距离r的平方成反比，由题中数据知，选项B正确，其余选项错误．
2．为了测量某行星的质量和半径，宇航员记录了登陆舱在该行星表面做圆周运动的周期T，登陆舱在行星表面着陆后，用弹簧测力计称量一个质量为m的砝码，读数为F.已知引力常量为G.则下列说法错误的是( )
MmrF3T4
A．该行量的质量为43 16πGm4πFTB．该行星的半径为 2
2
m3πC．该行星的密度为2 GTD．该行星的第一宇宙速度为
4π
2πmFT23
Mm4π24πR解析：选B.据F＝mg0＝m2R，得R＝2，B错误；由G2＝m2R，得M＝，又
T4πmRTGT22
FT2
F3T4M3πFTR＝2，则M＝A正确；密度ρ＝＝2，C正确；第一宇宙速度v＝g0R＝，43，4πm16πGmVGT2πmD正确．
3．(2018·高考全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍．P与Q的周期之比约为( )
A．2∶1 B．4∶1 C．8∶1 D．16∶1
FT2
r3TP解析：选C.由开普勒第三定律得2＝k，故＝TTQ?RP?＝
?RQ???
3
?16?＝8，C正确． ?4?1??
3
4．“北斗”卫星导航定位系统由地球静止轨道卫星(同步卫星)、中轨道卫星和倾斜同步轨道卫星组成．地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行，它们距地面的高度分别约为地球半径的6倍和3.4倍，下列说法中正确的是( )
A．静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的2倍
B．静止轨道卫星的线速度大小约为中轨道卫星的2倍 1
C．静止轨道卫星的角速度大小约为中轨道卫星的 71
D．静止轨道卫星的向心加速度大小约为中轨道卫星的
7
2
Mm4π
解析：选A.根据万有引力提供向心力有G2＝mr2， 解得卫星周期公式 T＝2π
rTr3，地球静止轨道卫星和中轨道卫星距地面的高度分别约为地球半径的6倍和3.4倍，即GM轨道半径分别约为地球半径的7倍和4.4倍，所以静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的2
Mmv2
倍，故 A 正确；由 G2＝ m可得 v＝
rrMmrGM，所以静止轨道卫星的线速度大小小于中轨道卫r2
GM，由此可知，静止轨道卫星的角速r3
MmGM度大小约为中轨道卫星的0.5，故C错误；由G2＝ma得a＝2，所以静止轨道卫星的向心加rr星的线速度大小，故B错误；由G2＝mrω可得ω＝
速度大小约为中轨道卫星的0.4，故D错误．
5．(2017·高考全国卷Ⅲ)2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行．与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的( )
A．周期变大 B．速率变大 C．动能变大 D．向心加速度变大
GMmv2GM解析：选C.组合体比天宫二号质量大，轨道半径R不变，根据2＝m，可得v＝，
RRR2πR可知与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的速率不变，B项错误；又T＝，则周期Tv不变，A项错误；质量变大、速率不变，动能变大，C项正确；向心加速度a＝2，不变，D项错误．
6．2017年10月16日，南京紫金山天文台对外发布一项重大发现，我国南极巡天望远镜追踪探测到首例引力波事件光学信号．关于引力波，早在1916年爱因斯坦基于广义相对论预言了其存在.1974年拉塞尔赫尔斯和约瑟夫泰勒发现赫尔斯—泰勒脉冲双星，这双星系统在互相公转时，由于不断发射引力波而失去能量，逐渐相互靠近，此现象为引力波的存在提供了首个间接证据．科学家们猜测该双星系统中体积较小的星球能“吸食”另一颗体积较大的星球表面的物质，达到质量转移的目的，则关于赫尔斯—泰勒脉冲双星周期T随双星之间的距离L变化的关系图象正确的是( )
GMR
2π?2Gm1m2?解析：选B.双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，2＝m1??R1
L?T?1G（m1＋m2）1?2π?＝m2??R2，由几何关系得：R1＋R2＝L，解得：2＝·3，已知此双星系统中体积2T4πL?T?较小的星球能“吸食”另一颗体积较大的星体表面的物质，达到质量转移的目的，每个星球11
的质量变化，但质量之和不变，所以2∝3，故B正确，A、C、D错误．
2
TL7. 国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”.1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2 060 km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上．设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为( )
A．a2＞a1＞a3 B．a3＞a2＞a1 C．a3＞a1＞a2 D．a1＞a2＞a3
解析：选D.固定在赤道上的物体随地球自转的周期与同步卫星运行的周期相等，同步卫
?2π?星做圆周运动的半径大，由a＝r??可知，同步卫星做圆周运动的加速度大，即a2>a3，B、?T?
C项错误；由于东方红二号与东方红一号在各自轨道上运行时受到万有引力，因此有G2＝ma，即a＝G2，由于东方红二号的轨道半径比东方红一号在远地点时距地高度大，因此有a1>a2，A项错误，D项正确．
8．利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通信．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )
A．1 h B．4 h C．8 h D．16 h
解析：选B.设地球半径为R，画出仅用三颗地球同步卫星使地球赤道上任意两点之间保持无线电通信时同步卫星的最小轨道半径示意图，如图所示．由图中几何关系可得，同步卫
2
MmrMr
（6.6R）
星的最小轨道半径r＝2R.设地球自转周期的最小值为T，则由开普勒第三定律可得，3
（2R）＝（24 h）
2
3
T2
，解得T≈4 h，选项B正确．
9．2017年6月15日，我国在酒泉卫星发射中心用长征四号乙运载火箭成功发射首颗X射线调制望远镜卫星“慧眼”．“慧眼”的成功发射将显著提升我国大型科学卫星研制水平，填补我国X射线探测卫星的空白，实现我国在空间高能天体物理领域由地面观测向天地联合观测的超越．“慧眼”研究的对象主要是黑洞、中子星和射线暴等致密天体和爆发现象．在利用“慧眼”观测美丽的银河系时，若发现某双黑洞间的距离为L，只在彼此之间的万有引力作用下做匀速圆周运动，其运动周期为T，引力常量为G，则双黑洞总质量为( )
4πLA．2
23
GT
234πLB．2
3GT4πTD．2
23
GL3
C．22 4πTGL22
m1m24πm1m24π
解析：选A.双黑洞靠相互间的万有引力提供向心力，有：G2＝m1r12，G2＝m2r22，LTLT4πr1L4πr2L4πL解得：m2＝，m1＝，又因为r1＋r2＝L，则双黑洞总质量为：m总＝m2＋m1＝222，222223
GTGTGT故选A.
10．由三个星体构成的系统，叫做三星系统．有这样一种简单的三星系统，质量刚好都相同的三个星体甲、乙、丙在三者相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同周期的圆周运动．若三个星体的质量均为m，三角形的边长为a，万有引力常量为G，则下列说法正确的是( )
A．三个星体做圆周运动的半径均为a
B．三个星体做圆周运动的周期均为2πaC．三个星体做圆周运动的线速度大小均为
a 3Gm3Gm a3GmD．三个星体做圆周运动的向心加速度大小均为2 a
解析：选B.质量相等的三星系统的位置关系构成一等边三角形，其中心O即为它们的共
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