《概率论》计算与证明题 36
p?2?4!/5!?2/5
（2）可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边，或者第一卷出现在右边而第五卷出现在左边，
剩下三卷可在中间三人上位置上任意排，所以 p?2?3!/5!?1/10
（3）p?P{第一卷出现在旁边}+P{第五卷出现旁边}-P{第一卷及第五卷出现在旁
2525110710边}=???.
（4）这里事件是（3）中事件的对立事件，所以 P?1?7/10?3/10
（5）第三卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排，所以P?1?4!/5!?1/5
7、解：末位数吸可能是2或4。当末位数是2（或4）时，前两位数字从剩下四个数字中选排，所以
P?2?A4/A5?2/5
23
8、解：P?Cn1Cn2Cnmmm3/3C3n
m
9、解：P{两球颜色相同}=P{两球均白}+P{两球均黑}+P{两球均红}
?325?1025?725?625?1525?925?207625?0.33.
10、解：若取出的号码是按严格上升次序排列，则n个号码必然全不相同，n?N。N个不同号码可产
生n!种不同的排列，其中只有一个是按严格上升次序的排列，也就是说，一种组合对应一种严格上升排列，所以共有CN种按严格上升次序的排列。总可能场合数为N，故题中欲求的概率为
P?CN/N.
nnnn
11、解：因为不放回，所以n个数不重复。从{1,2,?,M?1}中取出m-1个数，从{M?1,?N}中取出
n?m个数，数M一定取出，把这n个数按大小次序重新排列，则必有xm?M。故
P?CM?1C1CN?M/CN。当M?1?m?1或N?M?n?m时，概率P?0.
m?11n?mn
12、解：有利场合是，先从6双中取出一双，其两只全取出；再从剩下的5双中取出两双，从其每双中
取出一只。所以欲求的概率为P?C6C2C5C2C2/C12?1221141633?0.48
13、解：（1）有利场合是，先从n双中取出2r双，再从每双中取出一只。
P?Cn(C2)
2r12r/C2n,2r(2r?n)
《概率论》计算与证明题 37
（2）有利场合是，先从n双中取出一双，其两只全取出，再从剩下的n?1双中取出2r?2双，从鞭每双中取出一只。
P?CnC2Cn?1(C2)122r?212r?2/C2n?n22r2r?2Cn?1/C2n.
2r?22r?42r（3）P?22r?4Cn2Cn2?r2/C2n.
（4）P?Cnr(C22)r/C22nr?Cnr/C22nr.
14、解：（1）P{任意取出两球，号码为1，2}=1/Cn2.
（2）任取3个球无号码1，有利场合是从除去1号球外的n?1个球中任取3个球的组合数，故
33P{任取3球，无号码1}?Cn/Cn. ?155（3）P{任取5球，号码1,2,3中至少出现1个}=1?P{任取5球，号码1,2,3不出现}?1?Cn/Cn. ?3其中任取5球无号码1,2,3，有利场合是从除去1,2,3号球外的n?3个球中任取5个球的组合数。
15、解：（1）有利场合是，前k?1次从N?1个号中（除1号外）抽了，第k次取到1号球， P?(N?1)k?1?1/Nk?(N?1)k?1/N
kk?1k（2）考虑前k次摸球的情况，P?AN?1?1/AN?1/N。
16、解法一：设A={甲掷出正面数>乙掷出正面数}，B={甲掷出反面数>乙掷出反面数}。考虑A={={甲
掷出正面数?乙掷出正面数}。设A发生。若乙掷出n次正面，则甲至多掷出n次正面，也就是说乙掷出0次反面，甲至少掷出1次反面，从而甲掷出反面数>乙掷出反面数。若乙掷出n?1次正面，则甲至多掷出n?1次正面，也就是说乙掷出1次反面，甲至少掷出2次反面，从而也有甲掷出反面数>乙掷出反面数，等等。由此可得
A?{甲掷出正面数?乙掷出正面数}?{甲掷出反面数?乙掷出反面数}?B.
?P(A)?P(B)?P(A)?P(A)?1
显然A与B是等可能的，因为每人各自掷出正面与反面的可能性相同，所以P(A)?P(B),从
12而P(A)?。
01解法二：甲掷出n?1个硬币共有2n?1个等可能场合，其中有Cn?1个出现0次正面，有Cn?1个出现
n?101次正面，?，Cn?1个出现n?1次正面。乙掷n个硬币共有2n个等可能场合，其中有Cn个出现0
1n次正面，Cn个出现1次正面，?，Cn个出现n次正面。若甲掷n?1个硬币，乙掷n个硬币，则共
有n1?2n?1?20n?222n?1种等可能场合，其中甲掷出正面比乙掷出正面多的有利场合数有
013012m1?Cn?1Cn?Cn?1(Cn?Cn)?Cn?1(Cn?Cn?Cn)??
1 《概率论》计算与证明题 38
?Cn?1(Cn?Cn???Cnrrn01n?1)?Cn?1(Cn?Cn???Cn)
n?101n利用公式
01Cn?1?Cn?Cn01r?1及
Cn?1?Cn01n?1n得
23012m1?(Cn?Cn)Cn?(Cn?Cn)(Cn?Cn)?(Cn?Cn)(Cn?Cn?Cn)???(Cnn?12
?Cn)(Cn?Cn???Cnn01n?1)?Cn(Cn?Cn???Cn)n01n
?12?2202101021?1021??(Cn)?CCn??(Cn)?CCn?Cn?Cn???(Cn)?CnCn?Cn?Cn??i?2i?3????
???n?12?n2n?11n1?n1?????(Cn)?Cn?Cn?Cn?Cn???(Cn)?Cn?Cn?1?n?1i?ni?n????+
n??i?0?n12111?(Cn)?2?CnCn???Cn?n?j?i?0?i?0?
2n2所以欲求的概率为 P?m1/n1?2/22n?1?12.
应注意，甲掷出0,1,?,n?1个正面的n?2个场合不是等可能的。
17、解：事件“一颗投4次至少得到一个六点”的对立事件为“一颗投4次没有一个六点”，后者有有
利场合为，除去六点外的剩下五个点允许重复地排在四个位置上和排列数，故，
P{一颗投4次至少得到一个六点}=1?{一颗投4次没有一个六点}=1?54/64?0.5177. 投两颗骰子共有36种可能结果，除双六（6，6）点外，还有35种结果，故
P{两颗投24次至少得到一个双六}=1?{两颗投24次没有一个双六}=1?35比较知，前者机会较大。
53321318、解：P?C13C13C13C13/C52?0.0129
24/3624?0.4914.
19、解：P?C4C4C43C39C26C13CCCC1352133913261313149131313?4?C43C13529?0.0106.
4913或解为，4张A集中在特定一个手中的概率为C4C48/C52，所以4张A集中在一个人手中的概率
913为 P?4?C48/C52?0.0106.
520、解：（1）P?4/C52?0.0000015. 这里设A只打大头，若认为可打两头AKQJ10及A2345，则答
案有变，下同。
（2）取出的一张可民由K，Q，?，6八个数中之一打头，所以
P?C4C8/C52?0.0000123.
115 《概率论》计算与证明题 39
（3）取出的四张同点牌为13个点中的某一点，再从剩下48张牌中取出1张，所以
P?C13C4/C52?0.00024.
145（4）取出的3张同点占有13个点中一个点，接着取出的两张同点占有其余12个点中的一个点，
13125所以 P?C13C4C12C4/C52?0.0014.4
(5)5张同花可以是四种花中任一种，在同一种花中，5张牌占有13个点中5个点，所以
P?C4C13/C52?0.00198.
155(6){异花顺次五张牌}={顺次五张牌}－{同花顺次五张牌}。顺次五张牌分别以A，K，?，6九个数中之一打头，每张可以有四种不同的花；而同花顺次中花色只能是四种花中一种。所以
115115p = P{顺次五张牌}－{同花顺次五张牌}??C9(C4)?C4C9?/C52?0.0000294.
（7）三张同点牌占有13个点中一个占有剩下12个点中两个点，所以
P?C13C4C12(C4)/C52?0.0211.
132125（8）P{五张中有两对}=P{五张中两对不同点}+P{五张中两对同点}
22211514115C4C4C11C4/C52?C13C4C12C4/C52?0.0475. ?C12123135 （9）p?C13C4C12(C4)/C52?0.423.
（10）若记（i）事件为Ai，则A1?A5,A2?A5,A3?A8,A4?A9而事件A5,?,A9两两不
?9?A相容，所以p?1?P???i???1??i?5?9?P(Ai?5i)?0.506.
y 21、解：设x，y分别为此二船到达码头的时间，则 24 F E 0?x?24,0?y?24. 两船到达码头的时间与由上述
条件决定的正方形内的点是一一对应的（如图）
设A表事件“一船要等待空出码头”，则Ａ发生意味 ４ 着同时满足下列两不等式 x?y?3,y?x?4 Ｃ０ ３ 24
由几何概率得，事件Ａ的概率，等于正方形ＣＤＥＦ中直线x?y?3及y?x?4 之间的部分面积，与正方形CDEF的面积之比，即
?2?1122??2PA??24???20??21??/24?311/1152?0.27
2?2???
22、解：设x，y分别为此二人到达时间，则 y F N E 7?x?8,7?y?8。显然，此二人到达时间 8 (x,y)与由上述条件决定的正方形CDEF内和 M H 点是一一对应的(如图)。 7 D 设A表事件“其中一人必须等另外一人的 C G
相关推荐：
loading