课时跟踪检测（七） 基本不等式
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
x2－2x＋1?1?1．已知f(x)＝，则f(x)在?，3?上的最小值为( )
x?2?
14
A. B. C．－1 D．0 23
x－2x＋11?1?解析：选D 因为x∈?，3?，所以f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当xxx?2?
1
＝，即x＝1时取等号．
2
x?1?所以f(x)在?，3?上的最小值为0. ?2?
2．当x＞0时，f(x)＝1A． 2C．2
解析：选B ∵x＞0， ∴f(x)＝
2x22
＝≤＝1， x＋112
x＋
2
2x的最大值为( ) x＋1
2
B．1 D．4
x1
当且仅当x＝，即x＝1时取等号．
x3．(2018·哈尔滨二模)若2＋2＝1，则x＋y的取值范围是( ) A．[0,2] C．[－2，＋∞)
xyxxy B．[－2,0] D．(－∞，－2]
yx＋y解析：选D 由1＝2＋2≥22·2，变形为2时取等号，故x＋y的取值范围是(－∞，－2]．
1
≤，即x＋y≤－2，当且仅当x＝y4
4．(2018·宁波模拟)已知实数x，y均大于零，且x＋2y＝4，则log2x＋log2y的最大值为________．
解析：因为log2x＋log2y＝log22xy－1≤log2?
?x＋2y?2－1＝2－1＝1，
??2?
当且仅当x＝2y＝2，即x＝2，y＝1时等号成立， 所以log2x＋log2y的最大值为1. 答案：1
5．若正数x，y满足4x＋9y＋3xy＝30，则xy的最大值为________．
1
2
2
解析：因为x＞0，y＞0，所以30＝4x＋9y＋3xy≥236xy＋3xy＝15xy， 所以xy≤2，
2322
当且仅当4x＝9y，即x＝3，y＝时等号成立．
3故xy的最大值为2. 答案：2
二保高考，全练题型做到高考达标
1．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A．a＋b＞2ab 112C.＋＞
2
2
2
2
22
B．a＋b≥2ab D.＋≥2
ababbaab解析：选D ∵ab＞0，∴a，b是同号，∴＋≥2 号成立．故选D.
baabba·＝2，当且仅当a＝b时等ab11
2．已知a＞0，b＞0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值
ab是( )
A．3 C．5
B．4 D．6
11
解析：选B 由题意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝
ab2(a＋b)≥4ab＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号．
3．(2018·义乌六校统测)a，b∈R，且2a＋3b＝2，则4＋8的最小值是( ) A．26 C．22
解析：选D 4＋8＝2＋2≥22为4.
4．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )
A.
32
3 cm 2
2
ab B．42 D．4
ab2a3b2a＋3b11
＝4，当且仅当a＝，b＝时取等号，∴最小值
23
B．4 cm D．23 cm
2
2
C．32 cm
2
解析：选D 设两段长分别为x cm，(12－x)cm，则S＝
3?x?23?12－x?23
＋?＝???4?3?4?3?36
[x＋
2
12－x2
3x＋12－x]≥×
362
2
＝23，当且仅当x＝12－x，即x＝6时取等号．故
2
两个正三角形面积之和的最小值为23 cm.
12
5．若实数a，b满足＋＝ab，则ab的最小值为( )
abA.2 C．22
B．2 D．4
12
解析：选C 因为＋＝ab，所以a＞0，b＞0，
ab12
由ab＝＋≥2
1
abab2·＝2
2
ab，
得ab≥22(当且仅当b＝2a时取等号)， 所以ab的最小值为22.
31m6．已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为( )
aba＋3bA．9 C．18
31m解析：选B 由＋≥，
aba＋3b B．12 D．24
?31?9ba得m≤(a＋3b)?＋?＝＋＋6.
?ab?
ab9ba又＋＋6≥29＋6＝12，
ab9ba当且仅当＝，即a＝3b时等号成立，
ab∴m≤12，∴m的最大值为12.
7．(2018·金华十校联考)已知实数x，y，z满足?为________．
解析：由xy＋2z＝1，得z＝
2
2
?xy＋2z＝1，?
2
2
2
??x＋y＋z＝5，
则xyz的最小值
1－xy， 2
2
?1－xy?2≥2|xy|＋1－xy所以5＝x＋y＋??4?2?
，
3
??xy≥0，即?22
?xy＋6xy－19≤0?
??xy＜0，
或?22
?xy－10xy－19≤0，?
解得0≤xy≤－3＋27或5－211≤xy＜0， 1?211－xy1?
所以xyz＝xy·＝－?xy－?＋.
2?822?
综上，知当xy＝5－211时，xyz取得最小值911－32. 答案：911－32
8．已知函数f(x)＝loga(x＋4)－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点A，若直线＋＝－2(m＞0，n＞0)也经过点A，则3m＋n的最小值为________．
解析：由题意，函数f(x)＝loga(x＋4)－1(a＞0且a≠1)， 令x＋4＝1，可得x＝－3，代入可得y＝－1， ∴图象恒过定点A(－3，－1)．
∵直线＋＝－2(m＞0，n＞0)也经过点A， 3131
∴＋＝2，即＋＝1. mn2m2nxymnxymn?31?913n3m∴3m＋n＝(3m＋n)?＋?＝＋＋＋≥2
?2m2n?222m2n时，取等号，
∴3m＋n的最小值为8. 答案：8
38
9．(1)当x＜时，求函数y＝x＋的最大值；
22x－3(2)已知a＞b＞0，求a＋2
3n3m·＋5＝8，当且仅当m＝n＝22m2nb16
的最小值． a－b183
解：(1)y＝(2x－3)＋＋
22x－32＝－?
?3－2x＋8?＋3.
?3－2x?2?2
3
当x＜时，有3－2x＞0，
2∴
3－2x8
＋≥2 23－2x3－2x8
·＝4， 23－2x3－2x8
当且仅当＝，
23－2x 4
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