贵州民族大学人文科技学院毕业论文（设计）
令???x??0,则有x??,即当x??时, ?(x)有极大值?(x)max?
对式（2.2）求导有:
1?2?
????x??21?52?e??x???22?22??x?????2 (2.3)
??令????x??0,则有?x?????2 ,即曲线在:x????可以看到拐点，而且有两个.
表2-1 正态曲线的特性表
x (??,???) ??? ? 0 1(???,?) ? (?,???) ??? (???,??) ???x? ???x? ? ? ?? 凹 ? - ? 凸 0 - - - ? 凸 - 0 1- ? ? 凹 ??x? 曲线 1?2?e拐点 ?2??2?e极大值 拐点 对正态分布整体特性做了一定的介绍之后，下面对参数当?和?的意义进行阐释，当它们确定后，正态曲线就几乎能够得到了完全的确定.?和? 不同，?的大小决定曲线的“高”、“矮”、“胖”、“瘦”，如果?不变，改变?，则曲线在x轴上的位置不变，形状会变化，?愈小，曲线愈“高瘦”；?越大，曲线越“矮胖”，如图2-3所示； 如果?不变，改变?，那么曲线形状不变，只在x轴上平行移动如图2-2所示：
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图2-2 正态曲线的特性图
图2-3 正态曲线的密度函数图
我们从几何的角度对上图进行分析，在上图中，?是高斯曲线取得极大值的横坐标、?是曲线中拐点横坐标与极大值坐标?间的距离，也能够说?是凸、凹曲线的连接点在横坐标轴的位置；
从物理的角度对上图进行分析，在上图中，?是正态曲线与x轴之间所构成的平面图形重心的横坐标.在计量学科中，?是被测量的随机变量的真值，?是表征随机变量对象测量值分散特性的一个评价尺度因素.在数理统计学科中，?被称为数学期望也就是平均值，?是随机变量的标准偏差.当?的值越小，说明观测值落在?所在横坐标左右范围的概率越大，观测值较集中，测量精度相对较高；?的值越大，说明观测值落在?所在横坐标左右范围内的概率越小，观测值较分散，测量精度偏低.
综上所述，正态分布的参数?代表着随机变量样本观测值的集中的趋势,参数?反映了随机变量样本观测值的分散程度.
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贵州民族大学人文科技学院毕业论文（设计） 2.3 标准正态分布
称??0,??1的正态分布为标准正态分布，将??0,??1代入(2.1)式可以得到：
??x??12?e?x22 ???? (2.4) x????式(2.4)为标准正态分布的密度函数，服从标准正态分布的随机变量?~N??,?2?
通过对概率论的学习告诉我们，标准正态分布的分布函数(也叫概率分布函数)为：
F?x??P???x??P??????x?????t?dt????xx??12?e?t22dt (2.5)
通常用??x?表示标准正态分布的分布函数，即：
??x??P???x??P??????x?????t?dt???x?2?1x??e?t22dt (2.6)
取不同的x的值，式(2.6)的几何意义是在区间???,x?内正态曲线与x轴之间所围曲边梯形的面积,如图所示,
图2-4 标准正态分布的分布函数图
这也是将“正态分布表”称作“正态概率曲线下的面积”的道理.
由于密度函数??x?可以在整个x轴上取值，密度函数性质得:
?????12?e?t22dt?1
即迎合了正态曲线的一个性质：线与x轴所围面积为l.
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3 正态分布的应用
3.1 正态分布应用实例 3.1.1 正态分布在生产中的应用
正态分布实际应用很广，在很多产品生产及科学实验中，随机变量的概率分布特性都可以近似的用正态分布来描述.对于大量的个体的特性统计分析，可以尝试利用正态分布来估量.
例3.1 有一种螺纹量规平均可使用5年,其标准差为0.8年.假设螺纹量规的使用寿命服从正态分布,试求以下概率:1)使用期不到4年;2)使用期超过6年.
解 设量规使用期为随机变量?,由题意知?~N?5,0.82?,本题求P???4?和P???6? 1) 根据公式有:
?4????4?5?P???4??P??????4?????????????1.25??0.1056,
?0.8????或由公式可得
?4????0????4?5??0?5?P???4??P?0???4????????????????????????0.8??0.8?,
????1.25?????6.25??0.1056?0?0.10562) 根据公式有
?6?5?P???6??1?P???6??1?????1???1.25??1?0.8944?0.1056.
?0.8?例3.2 某车间加工一批轴,其直径服从正态分布,平均直径?=l0mm,标准差0.03)mm 范围内为合格品.求:1)不合格品的概率;2)合格?=0.015mm.规定直径在(10±品的概率.
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